23.4: Ejemplos trabajados
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Ejemplo 23.3: Cilindro oscilante rodante sin deslizamiento
Acople un cilindro sólido de masa M y radio R a un resorte horizontal sin masa con constante de resorte k para que pueda rodar sin deslizarse a lo largo de una superficie horizontal. En el tiempo t, el centro de masa del cilindro se mueve con velocidadVcm y el resorte se comprime vθ ,1 = ± 2gl (1− cosθ0). una distancia x de su longitud de equilibrio. ¿Cuál es el periodo de movimiento armónico simple para el centro de masa del cilindro?

Solución: En el tiempo t, la energía del cilindro rodante y el sistema de resorte es
E=12Mv2cm+12Icm(dθdt)2+12kx2
donde x es la cantidad que el resorte ha comprimido,Icm=(1/2)MR2, y porque está rodando sin deslizarse
dθdt=VcmR
Por lo tanto la energía es
E=12MV2cm+14MR2(VcmR)2+12kx2=34MV2cm+12kx2
La energía es constante (ninguna fuerza no conservadora está trabajando en el sistema) por lo que
0=dEdt=342MVcmdVcmdt+12k2xdxdt=Vcm(32Md2xdt2+kx)
Debido a que noVcm es cero la mayor parte del tiempo, el desplazamiento del resorte satisface una ecuación simple del oscilador armónico
d2xdt2+2k3Mx=0
De ahí que el periodo sea
T=2πω0=2π√3M2k
Ejemplo 23.4: Tubo en U
Un tubo en U abierto en ambos extremos se llena con un fluido incompresible de densidadρ. El área transversal A del tubo es uniforme y la longitud total del fluido en el tubo es L. Se utiliza un pistón para deprimir la altura de la columna de líquido en un lado por una distanciax0 (elevando el otro lado por la misma distancia) y luego se retira rápidamente (Figura 23.10). ¿Cuál es la frecuencia angular del movimiento armónico simple subsiguiente? Olvida cualquier fuerza resistiva y en las paredes del tubo en U.

Solución: Utilizaremos la conservación de la energía. Primero elige como cero para la energía potencial gravitacional en la configuración donde los niveles de agua son iguales en ambos lados del tubo. Cuando el pistón de un lado deprime el fluido, éste se eleva por el otro. En un instante dado en el tiempo cuando una porción del fluido de masaΔm=ρAx está a una altura x por encima de la altura de equilibrio (Figura 23.11), la energía potencial del fluido viene dada por
U=Δmgx=(ρAx)gx=ρAgx2
En ese mismo instante todo el fluido de longitud L y masam=ρAL se mueve con velocidad v, por lo que la energía cinética es
K=12mv2=12ρALv2
Así la energía total es
E=K+U=12ρALv2+ρAgx2
Al descuidar la fuerza resistiva, la energía mecánica del fluido es constante. Por lo tanto
0=dEdt=ρALvdvdt+2ρAgxdxdt
Si solo consideramos la parte superior del fluido por encima de la posición de equilibrio en el brazo derecho en la Figura 23.13, reescribimos la Ecuación (23.4.10) como
0=dEdt=ρALvxdvxdt+2ρAgxdxdt
dondevx=dx/dt. Ahora reescribimos la condición energética usandodvx/dt=d2x/dt2 como
0=vxρA(Ld2xdt2+2gx)
Esta condición se cumple cuandovx=0 es decir, la condición de equilibrio o cuando
0=Ld2xdt2+2gx
Esta última condición se puede escribir como
d2xdt2=−2gLx
Esta última ecuación es la ecuación simple del oscilador armónico. Usando las mismas técnicas matemáticas que usamos para el sistema de bloque de resorte, la solución para la altura del fluido por encima de la posición de equilibrio viene dada por
x(t)=Bcos(ω0t)+Csin(ω0t)
donde
ω0=√2gL
es la frecuencia angular de oscilación. El componente x de la velocidad del fluido en el lado derecho del tubo en U viene dado por
vx(t)=dx(t)dt=−ω0Bsin(ω0t)+ω0Ccos(ω0t)
Los coeficientes B y C están determinados por las condiciones iniciales. At=0 la altura del fluido esx(t=0)=B=x0. At=0, la velocidad es cero asívx(t=0)=ω0C=0, de ahíC=0. La altura del fluido por encima de la posición de equilibrio en el lado derecho del tubo en U en función del tiempo es así
x(t)=x0cos(√2gLt)