23.7: Oscilaciones pequeñas

Cualquier objeto que se mueva sujeto a una fuerza asociada con una función de energía potencial que sea cuadrática sufrirá un simple movimiento armónico,

\[U(x)=U_{0}+\frac{1}{2} k\left(x-x_{e q}\right)^{2} \nonumber \]

donde k es una “constante de resorte”,\(x_{e q}\) es la posición de equilibrio, y la constante\(U_{0}\) solo depende de la elección del punto de referencia\(x_{r e f}\) para la energía potencial cero\(U\left(x_{r e f}\right)=0\),

\[0=U\left(x_{r e f}\right)=U_{0}+\frac{1}{2} k\left(x_{r e f}-x_{e q}\right)^{2} \nonumber \]

Por lo tanto la constante es

\[U_{0}=-\frac{1}{2} k\left(x_{r e f}-x_{e q}\right)^{2} \nonumber \]

El mínimo del potencial\(x_{0}\) corresponde al punto donde el componente x de la fuerza es cero,

\[\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}=2 k\left(x_{0}-x_{e q}\right)=0 \Rightarrow x_{0}=x_{e q} \nonumber \]

correspondiente a la posición de equilibrio. Por lo tanto la constante es\(U\left(x_{0}\right)=U_{0}\) y reescribimos nuestra función potencial como

\[U(x)=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} k\left(x-x_{0}\right)^{2} \nonumber \]

Ahora supongamos que una función energética potencial no es cuadrática sino que aún tiene un mínimo en\(x_{0}\). Por ejemplo, considere la función de energía potencial

\[U(x)=-U_{1}\left(\left(\frac{x}{x_{1}}\right)^{3}-\left(\frac{x}{x_{1}}\right)^{2}\right) \nonumber \]

(Figura 23.22), que tiene un mínimo estable en\(x_{0}\),

Figura 23.22 Función de energía potencial con mínimos estables y máximos inestables

Cuando la energía del sistema esté muy cerca del valor de la energía potencial en el mínimo\(U\left(x_{0}\right)\), mostraremos que el sistema sufrirá pequeñas oscilaciones alrededor del valor mínimo\(x_{0}\). Utilizaremos la fórmula de Taylor para aproximar la función potencial como polinomio. Mostraremos que cerca del mínimo\(x_{0}\) podemos aproximar la función potencial por una función cuadrática similar a la Ecuación (23.7.5) y mostrar que el sistema experimenta un movimiento armónico simple para pequeñas oscilaciones alrededor del mínimo\(x_{0}\).

Comenzamos expandiendo la función de energía potencial sobre el punto mínimo usando la fórmula de Taylor

\[U(x)=U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2 !} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}+\cdots \nonumber \]

donde\(\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}\) es un término de tercer orden en que es proporcional a\(\left(x-x_{0}\right)^{3}\), y\(\left.\frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}},\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}, \quad \text { and }\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}\) son constantes. Si\(x_{0}\) es el mínimo de la energía potencial, entonces el término lineal es cero, porque

\[\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}=0 \nonumber \]

y así la Ecuación ((23.7.7)) se convierte

\[U(x) \simeq U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}+\cdots \nonumber \]

Para pequeños desplazamientos desde el punto de equilibrio tal que\(\left|x-x_{0}\right|\) sea suficientemente pequeño, el término de tercer orden y los términos de orden superior son muy pequeños y pueden ignorarse. Entonces la función de energía potencial es aproximadamente una función cuadrática,

\[U(x) \simeq U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} k_{e f f}\left(x-x_{0}\right)^{2} \nonumber \]

donde definimos\(k_{eff}\), la constante elástica efectiva, por

\[\left.k_{e f f} \equiv \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}} \nonumber \]

Debido a que la función de energía potencial se aproxima ahora por una función cuadrática, el sistema experimentará un simple movimiento armónico para pequeños desplazamientos desde el mínimo con una fuerza dada por

\[F_{x}=-\frac{d U}{d x}=-k_{e f f}\left(x-x_{0}\right) \nonumber \]

A\(x=x_{0}\), la fuerza es cero

\[F_{x}\left(x_{0}\right)=\frac{d U}{d x}\left(x_{0}\right)=0 \nonumber \]

Podemos determinar el período de oscilación sustituyendo la Ecuación (23.7.12) en la Segunda Ley de Newton

\[-k_{eff}\left(x-x_{0}\right)=m_{eff} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber \]

donde\(m_{eff}\) está la masa efectiva. Para un sistema de dos partículas, la masa efectiva es la masa reducida del sistema.

\[m_{eff}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \equiv \mu_{red} \nonumber \]

La ecuación (23.7.14) tiene la misma forma que el oscilador ideal de objeto de resorte. Por lo tanto, la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones viene dada por

\[\omega_{0}=\sqrt{\frac{k_{e f f}}{m_{e f f}}}=\sqrt{(\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}})/{m_{e f f}}} \nonumber \]

Ejemplo 23.6: Potencial cuártico

Un sistema con masa efectiva m tiene una energía potencial dada por

\[U(x)=U_{0}\left(-2\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{4}\right) \nonumber \]

donde\(U_{0}\) y\(x_{0}\) son constantes positivas y\(U(0)=0\) (a) Encuentra los puntos donde la fuerza sobre la partícula es cero. Clasificar estos puntos como estables o inestables. Calcular el valor de\(U(x) / U_{0}\) en estos puntos de equilibrio. (b) Si a la partícula se le da un pequeño desplazamiento desde un punto de equilibrio, encuentre la frecuencia angular de oscilación pequeña.

Solución: (a) En la Figura 23.23\(x / x_{0}\) se muestra una gráfica de\(U(x) / U_{0}\) como función de.

Figura 22.23 Gráfica de\(U(x) / U_{0}\) como una función de\(x / x_{0}\)

La fuerza sobre la partícula es cero al mínimo de la energía potencial,

\ [\ begin {array} {l}
0=\ frac {d U} {d x} =U_ {0}\ izquierda (-4\ izquierda (\ frac {1} {x_ {0}}\ derecha) ^ {2} x+4\ izquierda (\ frac {1} {x_ {0}}\ derecha) ^ {4} x^ {3}\ derecha)\\
=-4 _ {0} x\ izquierda (\ frac {1} {x_ {0}}\ derecha) ^ {2}\ izquierda (1-\ izquierda (\ frac {x} {x_ {0}}\ derecha) ^ {2}\ derecha)\ Derecha x^ {2} =x_ {0} ^ {2}\ texto {y} x=0
\ end {array}\ nonumber\]

Los puntos de equilibrio son en los\(x=\pm x_{0}\) que son estables y x = 0 que es inestable. La segunda derivada de la energía potencial viene dada por

\[\frac{d^{2} U}{d x^{2}}=U_{0}\left(-4\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{2}+12\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{4} x^{2}\right) \nonumber \]

Si a la partícula se le da un pequeño desplazamiento a partir de\(x=x_{0}\) entonces

\[\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}=U_{0}\left(-4\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{2}+12\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{4} x_{0}^{2}\right)=U_{0} \frac{8}{x_{0}^{2}} \nonumber \]

(b) La frecuencia angular de pequeñas oscilaciones viene dada por

\[\omega_{0}=\sqrt{\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}} / m}=\sqrt{\frac{8 U_{0}}{m x_{0}^{2}}} \nonumber \]

Ejemplo 23.7: Lennard-Jones 6-12 Potencial

Una función de energía potencial comúnmente utilizada para describir la interacción entre dos átomos es el potencial de Lennard-Jones 6-12

\[U(r)=U_{0}\left[\left(r_{0} / r\right)^{12}-2\left(r_{0} / r\right)^{6}\right] ; r>0 \nonumber \]

donde r es la distancia entre los átomos. Encuentra la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones sobre la posición de equilibrio estable para dos átomos idénticos unidos entre sí por la interacción de LennardJones. Let m denotar la masa efectiva del sistema de dos átomos.

Solución: Los puntos de equilibrio se encuentran estableciendo la primera derivada de la energía potencial igual a cero,

\[0=\frac{d U}{d r}=U_{0}\left[-12 r_{0}^{12} r^{-13}+12 r_{0}^{6} r^{-7}\right]=U_{0} 12 r_{0}^{6} r^{-7}\left[-\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{6}+1\right] \nonumber \]

El punto de equilibrio ocurre cuando\(r=r_{0}\) La segunda derivada de la función de energía potencial es

\[\frac{d^{2} U}{d r^{2}}=U_{0}\left[+(12)(13) r_{0}^{12} r^{-14}-(12)(7) r_{0}^{6} r^{-8}\right] \nonumber \]

Evaluando esto a\(r=r_{0}\) rendimientos

\[\left.\frac{d^{2} U}{d r^{2}}\right|_{r=r_{0}}=72 U_{0} r_{0}^{-2} \nonumber \]

Por lo tanto, la frecuencia angular de la oscilación pequeña es

\[\omega_{0}=\sqrt{\left.\frac{d^{2} U}{d r^{2}}\right|_{r=r_{0}} / m} \nonumber \]

\[=\sqrt{72 U_{0} / m r_{0}^{2}} \nonumber \]