23.7: Oscilaciones pequeñas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Cualquier objeto que se mueva sujeto a una fuerza asociada con una función de energía potencial que sea cuadrática sufrirá un simple movimiento armónico,
U(x)=U0+12k(x−xeq)2
donde k es una “constante de resorte”,xeq es la posición de equilibrio, y la constanteU0 solo depende de la elección del punto de referenciaxref para la energía potencial ceroU(xref)=0,
0=U(xref)=U0+12k(xref−xeq)2
Por lo tanto la constante es
U0=−12k(xref−xeq)2
El mínimo del potencialx0 corresponde al punto donde el componente x de la fuerza es cero,
dUdx|x=x0=2k(x0−xeq)=0⇒x0=xeq
correspondiente a la posición de equilibrio. Por lo tanto la constante esU(x0)=U0 y reescribimos nuestra función potencial como
U(x)=U(x0)+12k(x−x0)2
Ahora supongamos que una función energética potencial no es cuadrática sino que aún tiene un mínimo enx0. Por ejemplo, considere la función de energía potencial
U(x)=−U1((xx1)3−(xx1)2)
(Figura 23.22), que tiene un mínimo estable enx0,

Cuando la energía del sistema esté muy cerca del valor de la energía potencial en el mínimoU(x0), mostraremos que el sistema sufrirá pequeñas oscilaciones alrededor del valor mínimox0. Utilizaremos la fórmula de Taylor para aproximar la función potencial como polinomio. Mostraremos que cerca del mínimox0 podemos aproximar la función potencial por una función cuadrática similar a la Ecuación (23.7.5) y mostrar que el sistema experimenta un movimiento armónico simple para pequeñas oscilaciones alrededor del mínimox0.
Comenzamos expandiendo la función de energía potencial sobre el punto mínimo usando la fórmula de Taylor
U(x)=U(x0)+dUdx|x=x0(x−x0)+12!d2Udx2|x=x0(x−x0)2+13!d3Udx3|x=x0(x−x0)3+⋯
donde13!d3Udx3|x=x0(x−x0)3 es un término de tercer orden en que es proporcional a(x−x0)3, yd3Udx3|x=x0,d2Udx2|x=x0, and dUdx|x=x0 son constantes. Six0 es el mínimo de la energía potencial, entonces el término lineal es cero, porque
dUdx|x=x0=0
y así la Ecuación ((23.7.7)) se convierte
U(x)≃U(x0)+12d2Udx2|x=x0(x−x0)2+13!d3Udx3|x=x0(x−x0)3+⋯
Para pequeños desplazamientos desde el punto de equilibrio tal que|x−x0| sea suficientemente pequeño, el término de tercer orden y los términos de orden superior son muy pequeños y pueden ignorarse. Entonces la función de energía potencial es aproximadamente una función cuadrática,
U(x)≃U(x0)+12d2Udx2|x=x0(x−x0)2=U(x0)+12keff(x−x0)2
donde definimoskeff, la constante elástica efectiva, por
keff≡d2Udx2|x=x0
Debido a que la función de energía potencial se aproxima ahora por una función cuadrática, el sistema experimentará un simple movimiento armónico para pequeños desplazamientos desde el mínimo con una fuerza dada por
Fx=−dUdx=−keff(x−x0)
Ax=x0, la fuerza es cero
Fx(x0)=dUdx(x0)=0
Podemos determinar el período de oscilación sustituyendo la Ecuación (23.7.12) en la Segunda Ley de Newton
−keff(x−x0)=meffd2xdt2
dondemeff está la masa efectiva. Para un sistema de dos partículas, la masa efectiva es la masa reducida del sistema.
meff=m1m2m1+m2≡μred
La ecuación (23.7.14) tiene la misma forma que el oscilador ideal de objeto de resorte. Por lo tanto, la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones viene dada por
ω0=√keffmeff=√(d2Udx2|x=x0)/meff
Ejemplo 23.6: Potencial cuártico
Un sistema con masa efectiva m tiene una energía potencial dada por
U(x)=U0(−2(xx0)2+(xx0)4)
dondeU0 yx0 son constantes positivas yU(0)=0 (a) Encuentra los puntos donde la fuerza sobre la partícula es cero. Clasificar estos puntos como estables o inestables. Calcular el valor deU(x)/U0 en estos puntos de equilibrio. (b) Si a la partícula se le da un pequeño desplazamiento desde un punto de equilibrio, encuentre la frecuencia angular de oscilación pequeña.
Solución: (a) En la Figura 23.23x/x0 se muestra una gráfica deU(x)/U0 como función de.

La fuerza sobre la partícula es cero al mínimo de la energía potencial,
\ [\ begin {array} {l}
0=\ frac {d U} {d x} =U_ {0}\ izquierda (-4\ izquierda (\ frac {1} {x_ {0}}\ derecha) ^ {2} x+4\ izquierda (\ frac {1} {x_ {0}}\ derecha) ^ {4} x^ {3}\ derecha)\\
=-4 _ {0} x\ izquierda (\ frac {1} {x_ {0}}\ derecha) ^ {2}\ izquierda (1-\ izquierda (\ frac {x} {x_ {0}}\ derecha) ^ {2}\ derecha)\ Derecha x^ {2} =x_ {0} ^ {2}\ texto {y} x=0
\ end {array}\ nonumber\]
Los puntos de equilibrio son en losx=±x0 que son estables y x = 0 que es inestable. La segunda derivada de la energía potencial viene dada por
d2Udx2=U0(−4(1x0)2+12(1x0)4x2)
Si a la partícula se le da un pequeño desplazamiento a partir dex=x0 entonces
d2Udx2|x=x0=U0(−4(1x0)2+12(1x0)4x20)=U08x20
(b) La frecuencia angular de pequeñas oscilaciones viene dada por
ω0=√d2Udx2|x=x0/m=√8U0mx20
Ejemplo 23.7: Lennard-Jones 6-12 Potencial
Una función de energía potencial comúnmente utilizada para describir la interacción entre dos átomos es el potencial de Lennard-Jones 6-12
U(r)=U0[(r0/r)12−2(r0/r)6];r>0
donde r es la distancia entre los átomos. Encuentra la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones sobre la posición de equilibrio estable para dos átomos idénticos unidos entre sí por la interacción de LennardJones. Let m denotar la masa efectiva del sistema de dos átomos.
Solución: Los puntos de equilibrio se encuentran estableciendo la primera derivada de la energía potencial igual a cero,
0=dUdr=U0[−12r120r−13+12r60r−7]=U012r60r−7[−(r0r)6+1]
El punto de equilibrio ocurre cuandor=r0 La segunda derivada de la función de energía potencial es
d2Udr2=U0[+(12)(13)r120r−14−(12)(7)r60r−8]
Evaluando esto ar=r0 rendimientos
d2Udr2|r=r0=72U0r−20
Por lo tanto, la frecuencia angular de la oscilación pequeña es
ω0=√d2Udr2|r=r0/m
=√72U0/mr20