28.4: Principio de Bernoulli

Consideremos nuevamente el caso de un fluido ideal que experimenta flujo constante y aplicar métodos de energía para encontrar una ecuación de estado que relacione la presión, densidad y velocidad del flujo en diferentes puntos del fluido. Examinemos el caso de un flujo horizontal estable como se ve en la vista aérea que se muestra en la Figura 28.6. Representamos este flujo por líneas de flujo y un tubo de flujo asociado con las líneas de flujo. Consideremos el movimiento de una partícula de fluido a lo largo de una línea de aire pasando por los puntos A y B en la Figura 28.6. El área de sección transversal del tubo de flujo en el punto A es menor que el área de sección transversal del tubo de flujo en el punto B.

Figura 28.6 Vista aérea del flujo horizontal constante: en regiones donde aumenta el espaciamiento de las líneas de corriente, la velocidad del fluido debe disminuir

De acuerdo con la Ecuación (28.3.5), la partícula ubicada en el punto A tiene una velocidad mayor que una partícula de fluido ubicada en el punto B. Por lo tanto, una partícula que viaja a lo largo de la línea de aire desde el punto A hasta el punto B Debido a que la línea de aire es horizontal, la fuerza responsable se debe a diferencias de presión en el fluido. Así, para este flujo horizontal constante en regiones de menor velocidad debe haber mayor presión que en regiones de mayor velocidad. Ahora supongamos que el flujo constante del fluido ideal no es horizontal, con la y -representando los directi verticales. Las líneas de corriente y el tubo de flujo para este flujo constante se muestran en la Figura 28.7.

Figura 28.7: Flujo estable no horizontal

Para determinar la ecuación que relaciona la diferencia de presión, velocidad y altura del tubo, se utilizará el teorema trabajo-energía. Tomamos como sistema la masa contenida en el tubo de flujo mostrado en la Figura 28.7. Las fuerzas externas que actúan sobre nuestro sistema se deben a la presión que actúa en los dos extremos del tubo de flujo y la fuerza gravitacional. Considera una línea de flujo que pasa por los puntos 1 y 2 en los extremos opuestos del tubo de flujo. Supongamos que el tubo de flujo es lo suficientemente estrecho como para que la velocidad del fluido sea uniforme en las áreas de sección transversal del tubo en los puntos 1 y 2. En el punto 1, denota la velocidad de una partícula de fluido por\(v_{1}\), el área de sección transversal por\(A_{1}\), la presión del fluido por\(P_{1}\), y la altura del centro del área de sección transversal por\(y_{1}\). En el punto 2, denotar la velocidad de una partícula de fluido por\(v_{2}\), el área de la sección transversal por\(A_{2}\), la presión del fluido por\(P_{2}\), y la altura del centro del área de la sección transversal por\(y_{2}\).

Considere el tubo de flujo en el tiempo t como se ilustra en la Figura 28.7. En el extremo izquierdo del flujo, en un intervalo de tiempo\(d t\), una partícula en el punto 1 recorre una distancia\(d l_{1}=v_{1} d t\). Por lo tanto, un pequeño volumen\(d V_{1}=A_{1} d l_{1}=A_{1} v_{1} d t\) de fluido se desplaza en el extremo derecho del tubo de flujo. De manera similar, en la partícula en el punto 2, recorre una distancia\(d l_{2}=v_{2} d t\). Por lo tanto, un pequeño volumen de fluido también\(d V_{2}=A_{2} d l_{2}=A_{2} v_{2} d t\) se desplaza hacia la derecha en el tubo de flujo durante el intervalo de tiempo\(d t\). Porque estamos asumiendo que el fluido es incompresible, por la Ecuación (28.3.5), estos elementos de volumen son iguales,\(d V \equiv d V_{1}=d V_{2}\).

Existe una fuerza de magnitud\(F_{1}=P_{1} A_{1}\) en la dirección del flujo que surge de la presión del fluido en el extremo izquierdo del tubo que actúa sobre el elemento de masa que ingresa al tubo. El trabajo realizado desplazando el elemento de masa es entonces

\[d W_{1}=F_{1} d l_{1}=P_{1} A_{1} d l_{1}=P_{1} d V \nonumber \]

También hay una fuerza de magnitud\(F_{2}=P_{2} A_{2}\) en la dirección opuesta al flujo que surge 2 2 2 de la presión del fluido en el extremo derecho del tubo. El trabajo realizado en oposición al desplazamiento del elemento de masa que sale del tubo es entonces

\[d W_{1}=-F_{2} d l_{2}=-P_{2} A_{2} d l_{2}=-P_{2} d V \nonumber \]

Por lo tanto, el trabajo externo realizado por la fuerza asociada a la presión del fluido es la suma del trabajo realizado en cada extremo del tubo

\[d W^{e x t}=d W_{1}+d W_{2}=\left(P_{1}-P_{2}\right) d V \nonumber \]

En un intervalo de tiempo dt, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es igual a

\[d W^{g}=-d m g\left(y_{2}-y_{1}\right)=-\rho d V g\left(y_{2}-y_{1}\right) \nonumber \]

Debido a que solo elegimos la masa en el tubo de flujo como nuestro sistema, y asumimos que el fluido era ideal (sin pérdidas por fricción debido a la viscosidad) el cambio en la energía potencial del sistema es

\[d U=-W^{g}=\rho d V g\left(y_{2}-y_{1}\right) \nonumber \]

En el tiempo t, la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética del elemento de masa pequeña del volumen que\(d V=A_{1} d l_{1}\) se mueve con la velocidad v1 y el resto de la masa en el tubo de flujo. En el momento\(t+d t\), la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética del elemento de masa pequeña de volumen que\(d V=A_{2} d l_{2}\) se mueve con velocidad\(v_{2}\) y el resto de la masa en el tubo de flujo. El cambio en la energía cinética del sistema se debe a los elementos de masa en los dos extremos y por lo tanto

\[d K=\frac{1}{2} d m_{2} v_{2}^{2}-\frac{1}{2} d m_{1} v_{1}^{2}=\frac{1}{2} \rho d V\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) \nonumber \]

El teorema trabajo-energía\(d W^{e x t}=d U+d K\) para el sistema es entonces

\[\left(P_{1}-P_{2}\right) d V=\frac{1}{2} \rho d V\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)+\rho g\left(y_{2}-y_{1}\right) d V \nonumber \]

Ahora dividimos la Ecuación (28.4.7) por el volumen\(d V\) y reorganizamos los términos, rindiendo

\[P_{1}+\rho g y_{1}+\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}=P_{2}+\rho g y_{2}+\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \nonumber \]

Debido a que los puntos 1 y 2 fueron elegidos arbitrariamente, podemos bajar los subíndices y escribir la Ecuación (28.4.8) como

\[P+\rho g y+\frac{1}{2} \rho v^{2}=\mathrm{constant} \text{ (ideal fluid, steady flow)} \nonumber \]

La ecuación (28.4.9) se conoce como Ecuación de Bernoulli.