3.4: Notación

En esta sección voy a suponer que tenemos\( n\) partículas dispersas a través del espacio tridimensional. Estaremos derivando algunas propiedades y teoremas generales —y, en la medida en que se pueda considerar que un cuerpo sólido está constituido por un sistema de partículas, estas propiedades y teoremas se aplicarán igualmente a un cuerpo sólido.

En la Figura III.5, he dibujado apenas dos de las partículas, (el resto de ellas quedan a tu imaginación) y el centro de masa C del sistema.

Una partícula dada puede tener una fuerza externa\( \bf{F}_{i}\) que actúa sobre ella. (Puede, por supuesto, tener varias fuerzas externas que actúan sobre ella, pero me refiero con\( \bf{F}_{i}\) la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre la i ésima partícula.) También puede interactuar con las otras partículas en el sistema, y en consecuencia puede tener fuerzas internas que\( \bf{F}_{ij}\) actúan sobre él, donde\( j\) va de 1 a\( n\) excepción de\( i\). Defino la suma vectorial\( \bf F = \sum F_{i}\) como la fuerza externa total que actúa sobre el sistema.

Voy a establecer la siguiente notación para los efectos de este capítulo.

• Masa de la partícula \( i\)th =\( m_{i}\)
• Masa total del sistema\(M= \sum m_{i}\)
• Vector de posición de la partícula \( i\)th referida a un punto fijo O:\( \textbf{r}_{i} = x_{i} \hat{\textbf{x}} + y_{i} \hat{\textbf{y}} + z_{i} \hat{\textbf{z}}\)
• Velocidad de la partícula \( i\)th referida a un punto fijo O:\( \textbf{r}_{i}\) o\( \textbf{v}_{i}\) (Velocidad =\( v_{i}\))
• Momento lineal de la partícula \( i\)th referida a un punto fijo O:\(\textbf{p}_{i} = m_{i} \textbf{v}_{i}\)
• Momento lineal del sistema:\(\textbf{P} = \sum \textbf{P}_{i} = \sum m_{i} \textbf{v}_{i}\)
• Fuerza externa sobre la partícula \( i\)th:\(\textbf{F}_{i}\)
• Fuerza externa total en el sistema:\( \textbf{F} = \sum \textbf{F}_{i}\)
• Momento angular (momento de momento) de la partícula \( i\)th referida a un punto fijo O:\[\textbf{l}_{i} = \textbf{r}_{i} \times \textbf{p}_{i} \nonumber \]
• Momento angular del sistema:\( \textbf{L} = \sum \textbf{l}_{i} = \sum \textbf{r}_{i} \times \textbf{p}_{i}\)
• Par de torsión en la i ésima partícula referida a un punto fijo O:\( \boldsymbol\tau_{i} = \textbf{r}_{i} \times \textbf{F}_{i}\)
• Par externo total en el sistema con respecto al origen:\[ \boldsymbol\tau = \sum \boldsymbol\tau_{i} = \sum \textbf{r}_{i} \times \textbf{F}_{i} \nonumber \]

Energía cinética del sistema: (Estamos tratando con un sistema de partículas, por lo que estamos tratando solo con energía cinética traslacional, sin rotación ni vibración):

\( T = \sum \frac{1}{2} m_{i}v_{i}^{2} \)

Vector de posición del centro de masa referido a un punto fijo O:\(\overline{\textbf{r}}_{i} =\overline{x}\hat{\textbf{x}} + \overline{y}\hat{\textbf{y}} + \overline{z}\hat{\textbf{z}} \)

El centro de masa está definido por\(M \overline{\textbf{r}} = \sum m_{i} \textbf{r}_{i}\)

Velocidad del centro de masa referida a un punto fijo O:\( \overline{\textbf{r}} = \overline{\textbf{v}}\) (Velocidad =\( \overline{v}\))

Para los vectores de posición, los símbolos de subíndice único no cebados se referirán a O. Los símbolos de subíndice único cebados se referirán a C. Esto quedará claro, espero, a partir de la Figura III.5.

Vector de posición de la partícula \( i\)th referida al centro de masa C:\( \textbf{r}'_{i} = \textbf{r}_{i} - \overline{\textbf{r}}_{i}\)

Vector de posición de la partícula \( j\)con respecto a la partícula \( i\):\(\textbf{r}_{ij} = \textbf{r}_{j} - \textbf{r}_{i}\)

Fuerza (interna) ejercida sobre partícula \( i\)por partícula \( j\):\(\textbf{F}_{ij}\)

Fuerza (interna) ejercida sobre partícula \( j\)por partícula \( i\):\(\textbf{F}_{ji}\)

Si la fuerza entre dos partículas es repulsiva (por ejemplo, entre partículas cargadas electricamente del mismo signo), entonces\(\textbf{F}_{ji}\) y\(\textbf{r}_{ji}\) están en la misma dirección. Pero si la fuerza es una fuerza atractiva,\(\textbf{F}_{ji}\) y\(\textbf{r}_{ji}\) están en direcciones opuestas.

Según la Tercera Ley de Movimiento de Newton (Lex III),\(\textbf{F}_{ij} = -\textbf{F}_{ji} \)

Momento angular total del sistema referido al centro de masa C:\(\textbf{L}_{C}\)

Par externo total en el sistema referido al centro de masa C:\(\boldsymbol \tau_{C}\)

Para la velocidad del centro de masa puedo usar cualquiera\( \dot{\overline{\textbf{r}}}\) o\( \overline{\textbf{v}}\)

O es un origen arbitrario de coordenadas. C es el centro de masa.

Tenga en cuenta que

\ begin {ecuación}\\ textbf {r} _ {i} =\ overline {\ textbf {r}} +\ textbf {r} _ _ {i} ^ {\ prime}\ tag {3.4.1}\ label {eq:3.4.1}\ end {ecuación}

y por lo tanto

\ begin {ecuación}\\ punto {\ overline {\ textbf {r}} _ {i}} =\ punto {\ overline {\ textbf {r}}} +\ punto {\ textbf {r} _ _ {i} ^ {\ prime}};\ tag {3.4.2}\ etiqueta {eq:3.4.2}\ end {ecuación}

es decir

\ begin {ecuación}\\ textbf {v} _ {i} =\ overline {\ textbf {v}} +\ textbf {v} _ _ {i} ^ {\ prime}\ tag {3.4.3}\ etiqueta {eq:3.4.3}\ end {ecuación}

Tenga en cuenta también que

\ begin {ecuación}\\ suma m_ {i}\ textbf {r} _ {i} ^ {\ prime} = 0\ tag {3.4.4}\ label {eq:3.4.4}\ end {ecuación}

Tenga en cuenta además que

\ begin {ecuación}\ suma m_ {i}\ textbf {v} '_i=\ suma m_ {i} (\ textbf {v} _i -\ overline {\ textbf {v}}) =\ suma m_ {i}\ textbf {v} _ _ {i} -\ overline {\ textbf {v}}\ suma m_ {i} = M\ overline {\ textbf {v}} -\ overline {\ textbf {v}} M = 0\ tag {3.4.5}\ label {eq:3.4.5}\ end {ecuación}

Es decir, el impulso lineal total con respecto al centro de masa es cero.

Una vez establecida nuestra notación, pasamos ahora a algunos teoremas relativos a los sistemas de partículas. Puede ser más útil para ti evocar una imagen física en tu mente lo que significan los siguientes teoremas que memorizar los detalles de las derivaciones.