4: Rotación de Cuerpo Rígido

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 131181

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ningún cuerpo sólido real es perfectamente rígido. Un cuerpo giratorio no rígido se distorsionará por la fuerza centrífuga ^* o por interacciones con otros cuerpos. Sin embargo, la mayoría de la gente permitirá que en la práctica algunos sólidos sean bastante rígidos, estén rotando a una velocidad modesta, y cualquier distorsión sea pequeña en comparación con el tamaño general del cuerpo. No se necesitan ni se ofrecen excusas para analizar, para comenzar con la rotación de un cuerpo rígido.

4.1: Introducción a la Rotación de Cuerpo Rígido
Un tratamiento completo de la rotación de un top asimétrico (cuyos tres momentos principales de inercia son desiguales) es muy largo, ya que hay tantos casos a considerar. Voy a restringir la consideración del movimiento de una parte superior asimétrica a un argumento cualitativo que demuestre que la rotación alrededor del eje principal del mayor momento de inercia o alrededor del eje del menor momento de inercia es estable, mientras que la rotación alrededor del eje intermedio es inestable.
4.2: Velocidad angular y ángulos eulerianos
Vamos a examinar el movimiento de un cuerpo que está rotando alrededor de un eje no principal. Si el cuerpo gira libremente en el espacio sin pares externos que actúen sobre él, su momento angular L será constante en magnitud y dirección.
4.3: Energía cinética de la rotación del cuerpo rígido
Esta fórmula es adecuada para situaciones simples en las que un cuerpo está girando alrededor de un eje principal, pero no es adecuada para un cuerpo que gira alrededor de un eje no principal.
4.4: Ecuaciones de movimiento de Lagrange
Al derivar las ecuaciones de Euler, me parece conveniente hacer uso de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. Esto no causará ninguna dificultad a nadie que ya esté familiarizado con la mecánica lagrangiana. La descripción geométrica de un sistema mecánico en algún instante de tiempo se puede dar especificando un número de coordenadas, por ejemplo, si el sistema consiste en una sola partícula, podría especificarse sus coordenadas rectangulares xyz o sus coordenadas cilíndricas ρΦz, o sus coordenadas esféricas rθ9.
4.5: Ecuaciones de movimiento de Euler
Las ecuaciones de rotación de Euler son una ecuación diferencial ordinaria cuasilineal vectorial de primer orden que describe la rotación de un cuerpo rígido, utilizando un marco de referencia giratorio con sus ejes fijos al cuerpo y paralelos a los ejes principales de inercia del cuerpo.
4.6: Movimiento sin fuerza de una parte superior rígida asimétrica
Por “top asimétrico” me refiero a un cuerpo cuyos tres momentos principales de inercia son desiguales. Si bien a menudo pensamos en un “top” como un cuerpo simétrico que gira sobre una mesa, en esta sección el “top” no necesariamente será simétrico, y no estará en contacto con ninguna mesa, ni de hecho sometido a fuerzas externas o pares.
4.7: Rotador no rígido
La energía cinética rotacional de un cuerpo que gira alrededor de un eje principal es 12Iω312Iω3, donde I es el momento de inercia alrededor de ese eje principal, y el momento angular es L = Iω. (Para la rotación alrededor de un eje no principal, ver sección 4.3.) Así, la energía cinética rotacional puede escribirse como L2/ (2I).
4.8: Movimiento sin fuerza de una parte superior simétrica rígida
4.9: Fuerzas Centrífugas y Coriolis
Por lo general se nos dice en libros elementales que no existe “tal cosa” como la fuerza centrífuga. Cuando un satélite orbita alrededor de la Tierra, no se mantiene en equilibrio entre dos fuerzas iguales y opuestas, a saber, la gravedad que actúa hacia la Tierra y la fuerza centrífuga que actúa hacia afuera. En realidad, nos dicen, el satélite está acelerando (la aceleración centrípeta); solo hay una fuerza, es decir, la fuerza gravitacional, que es igual a la masa por la aceleración centrípeta.
4.10: La cima
Hemos clasificado los cuerpos sólidos técnicamente como cimas simétricas, asimétricas, esféricas y lineales, según los tamaños relativos de sus principales momentos de inercia.
4.11: Apéndice

Miniaturas: Definición geométrica adecuada de ángulos de Euler. El sistema xyz (fijo) se muestra en azul, el sistema XYZ (girado) se muestra en rojo. La línea de nodos (N) se muestra en verde. (CC BY 3.0; Lionel Brits).