6.3B: Cuerpo que cae bajo gravedad en un medio de resistencia, fuerza resistiva proporcional a la velocidad
- Page ID
- 131262
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Estamos aquí probablemente considerando una pequeña esfera que cae lentamente a través de un líquido viscoso, con flujo laminar alrededor de la esfera, en lugar de un paracaidista que se precipita por el aire. En este último caso, es probable que el flujo de aire sea altamente turbulento y la resistencia sea proporcional a una mayor potencia de la velocidad que la primera.
Usaremos el símbolo\( y\) para la distancia caída. Es decir, medimos a la\( y\) baja desde el punto de partida. La ecuación del movimiento es
\[ \ddot{y}= g - \gamma v, \tag{6.3.8}\label{eq:6.3.8} \]
donde\( g\) esta la aceleracion gravitacional.
El cuerpo alcanza una velocidad constante cuando\( \ddot{y}\) se convierte en cero. Esto ocurre a una velocidad\( \hat{v}=\frac{g}{\gamma} \), que se llama la velocidad terminal.
Para obtener la primera integral de tiempo, escribimos la ecuación del movimiento como
\[ \frac{dv}{dt} = \gamma( \hat{v} -v) \tag{6.3.9}\label{eq:6.3.9} \]
o
\[ \frac{dv}{ \hat{v} -v} = \gamma dt. \tag{6.3.10}\label{eq:6.3.10} \]
\ [
\ frac {dv} {v -\ hat {v}} = -\ gamma dt. \ tag {6.3.11}\ label {eq:6.3.11}\]
¡NO! En medio de un examen, al tiempo que cubre esta derivación que tan bien conoces, de pronto puedes encontrarte en dificultades inextricables. Lo que hay que tener en cuenta es esto. Si miras el lado izquierdo de la ecuación, anticiparás que aparecerá un logaritmo al integrarlo. ¡Mantén el denominador positivo! Algunos matemáticos pueden conocer el significado del logaritmo de un número negativo, pero la mayoría de nosotros los mortales comunes no lo hacemos, ¡así que mantén el denominador positivo!
Con condición inicial\( v=0\) cuando \( t=0\), la primera vez integral se convierte
\[ v = \hat{v}(1-e^{\gamma t}). \tag{6.3.12}\label{eq:6.3.12} \]
Esto se ilustra en la Figura VI.5.
Los estudiantes habrán visto ecuaciones similares a esta antes en otras ramas de la física, por ejemplo, crecimiento de carga en un condensador o crecimiento de corriente en un inductor. Es por eso que aprender física se vuelve más fácil todo el tiempo, porque lo has visto todo antes en contextos bastante diferentes. Quizás ya te hayas dado cuenta de que la física de tercer año es más fácil que la física de segundo año; ¡solo piensa en cuánto más fácil va a ser el cuarto año! En todo caso,\( v\) se acerca asintóticamente a la velocidad terminal, nunca alcanzándola del todo, sino alcanzando la mitad de la velocidad terminal en el tiempo\( \frac{\ln2}{\gamma}=\frac{.693}{\gamma}\) (ya lo has visto antes mientras estudiaba la desintegración radiactiva), y alcanzando (\( 1-e^{-1}\)) = 63% de la velocidad terminal en el tiempo\( \frac{1}{\gamma}\).
Si el cuerpo es arrojado hacia abajo, de manera que su velocidad inicial no sea cero sino\( v=v_{0}\) cuando\( t=0\), escribirá la ecuación de movimiento ya sea como Ecuación\( \ref{eq:6.3.10}\) o como Ecuación\( \ref{eq:6.3.11}\), dependiendo de si la velocidad inicial es más lenta o más rápida que la velocidad terminal, asegurando así que el denominador se mantiene firmemente positivo. En cualquier caso, el resultado es
\[ v = \hat{v}+(v_{0} -\hat{v})e^{-\gamma t} \tag{6.3.13}\label{eq:6.3.13} \]
La Figura VI.6 muestra\( v\) como una función de\( t\) para las condiciones iniciales\(v_{0} = 0, \frac{1}{2}\hat{v},\hat{v}, 2\hat{v}\).
Volviendo a la condición inicial\( v=0\) cuando \( t=0\), encontramos fácilmente la segunda vez integral para ser
\[ y = \hat{v}t - \frac{\hat{v}}{\gamma}(1-e^{-\gamma t}). \tag{6.3.14}\label{eq:6.3.14} \]
Debes verificar si esta ecuación es lo que se espera para cuándo\( t=0\) y cuándo se\( t\) acerca al infinito. La segunda integral de tiempo se muestra en la Figura VI.7.
La integral de espacio se encuentra ya sea eliminando t entre la primera y segunda integrales de tiempo, o escribiendo\( \ddot{y} \) como\( v\frac{dv}{dy}\) en la ecuación de movimiento:
\[ v\frac{dv}{dy}= \gamma(\hat{v}-v), \tag{6.3.15}\label{eq:6.3.15} \]
de donde
\[ y = \frac{\hat{v}}{\gamma}\ln(1-\frac{v}{\hat{v}}) - \frac{v}{\gamma}. \tag{6.3.16}\label{eq:6.3.16} \]
Esto se ilustra en la Figura VI.8. Observe que la ecuación da\( y\) como una función de\( v\), pero solo
el cálculo numérico dará \( v\)para un dado\( y\).
Asumir\( g\) = 9.8 m s -2. Una partícula, a partir del reposo, se deja caer a través de un medio tal que la velocidad terminal es de 9.8 m s -1. ¿Cuánto tiempo tardará en caer a través de 9.8 m?
Solución
Se nos pide\( t\), se nos da\( y\), y conocemos la ecuación que relaciona\( t\) y\( y\) -es la segunda vez integral, Ecuación\( \ref{eq:6.3.14}\) - entonces, ¿qué podría ser más fácil? Tenemos\( \gamma=\frac{g}{\hat{v}}\) = 1s −1, así que la ecuación\( \ref{eq:6.3.14}\) se convierte
\[ 9.8 = 9.8t -9.8(1-e^{-t}) \tag{6.3.17}\label{eq:6.3.17} \]
y de pronto nos encontramos con que no es tan fácil como se esperaba!
La ecuación se puede escribir
\[ f(t) = t + e^{-t} -2 =0. \tag{6.3.18}\label{eq:6.3.18} \]
Para la iteración de Newton-Raphson necesitamos
\[ f'(t) = 1 - e^{-t}. \tag{6.3.19}\label{eq:6.3.19} \]
y, después de algún reordenamiento, la iteración de Newton-Raphson\( (t\rightarrow t-\frac{f}{f'})\) se convierte en
\[ t = \frac{1-t}{e^{t} - 1}+2. \tag{6.3.20}\label{eq:6.3.20} \]
(Se puede notar que\( \ref{eq:6.3.20}\), que deriva del proceso de Newton-Raphson, no es más que un reordenamiento de la Ecuación)\( \ref{eq:6.3.18}\).
Comenzando con una primera suposición extremadamente estúpida de\( t\) = 100 s, las iteraciones proceden de la siguiente manera:
\( t\)= 100.000 000 000
2.000 000 000
1.843 482 357
1.841 406 066
1.841 405 661
1.841 405 660 s
Asumir\( g\) = 9.8 m s -2. Una partícula, partiendo del reposo, cae a través de un medio de resistencia, siendo la constante de amortiguación\( \gamma\) = 1.96 s -1 (i.e.\( \hat{v} \) = 5 m s -1). ¿Qué tan rápido se mueve después de que ha caído 0.3 m?
Solución
Se nos pide\( v\), dado\( y\). Queremos que el espacio integral, Ecuación\( \ref{eq:6.3.16}\). Al sustituir los datos, obtenemos
\[ f(v) = 5\ln(1-0.2v)+ v+0.588 = 0. \tag{6.3.21}\label{eq:6.3.21} \]
A partir de esto,
\[ f'(v) = v/(v-5) \tag{6.3.22}\label{eq:6.3.22} \]
El proceso de Newton-Raphson\( (t\rightarrow t-\frac{f}{f'})\), después de un poco de álgebra, llega a
\[ v = \frac{u(5\ln(0.2u)+0.588)}{v}+ 5= \frac{u(5\ln u-7.459189560)}{v}+5, \tag{6.3.23}\label{eq:6.3.23} \]
donde\( u=5-v\).
Esta vez Newton-Raphson no nos permite el lujo de una primera suposición sumamente estúpida, pero sabemos que la respuesta debe estar entre 0 y 5 m s -1, por lo que nuestra primera suposición moderadamente inteligente puede ser\( v\) =2.5ms -1.
Iteraciones de Newton-Raphson:
\( v\)= 2.500 000 000
2.122 264 100
2.051 880 531
2.049 766 247
2.049 764 400 m s -1
Problemas
Aquí hay cuatro problemas relativos a un cuerpo que cae del reposo de tal manera que la resistencia es proporcional a la velocidad. Supongamos que\( v\) = 9.8 m s −2. Las respuestas a las preguntas 6.3.3 - 6.3.6 deben darse con una precisión de 0.0001 segundos.
Una partícula cae del reposo en un medio tal que la constante de amortiguación es\( \gamma\) = 1.0 s −1. ¿Cuánto tiempo tardará en caer a través de los 10 m?
Tarda\( t\) segundos en caer a través de\( y\) metros. Construir una tabla que muestre\( t\) para 201 valores de\( y\) pasar de 0 a 20 metros en pasos de 0.1 metro, asumiendo que\( \gamma\) = 1.0 s −1.
Construir una tabla que muestre\( t\) para 201 valores de\( y\) ir de 0 a 20 metros en escalones de 0.1 metros para\( \gamma\) = 0.0, 0.5, 1.0, 1,5, 2.0 s. El cuadro debe tener seis columnas. La primera columna da la distancia caída a una precisión de 0.1 metros. Las cinco columnas restantes darán el tiempo, con una precisión de 0.0001 segundos, que el cuerpo tarda en caer una distancia dada, a una precisión de 0.0001 segundos
Dibuje, por computadora, una gráfica que muestre\( t\) (la variable dependiente, trazada verticalmente) versus y (trazada horizontalmente) para los cinco valores de\( \gamma\) la pregunta 3.
Estos cuatro problemas están en orden de dificultad creciente. El primero es meramente un ejercicio para resolver numéricamente una ecuación implícita (Ecuación\( \ref{eq:6.3.14}\)), y podría servir como ejemplo introductorio de cómo, por ejemplo, resolver una ecuación por iteración de Newton-Raphson (hago la respuesta 1.8656 s.) Los dos últimos, si comenzaban de cero, bien podrían tomar una tarde entera antes de que se resuelva a la completa satisfacción de uno. Se puede observar que los gráficos de la pregunta 4 podrían dibujarse con bastante facilidad calculando\( y\) explícitamente en función de\( t\), obviando así la necesidad de la iteración de Newton-Raphson. Sin embargo, no se pueden hacer tales atajos para construir el cuadro de pregunta 3.
De hecho resolví las preguntas 3 y 4 en tan solo unos minutos − pero no empecé de cero. A medida que avance en su carrera científica, se dará cuenta de que hay ciertas operaciones con las que se encuentra una y otra vez. Para hacer las preguntas 3 y 4, por ejemplo, necesitas ser capaz de resolver una ecuación por iteración de Newton-Raphson; necesitas poder construir una tabla de una función\( y=f(x\quad;\quad a)\), o en este caso\( t=f(y\quad;\quad \gamma)\); y necesitas poder instruir a una computadora para dibujar gráficas de valores tabulados. Hace mucho tiempo aprendí que todos estos son problemas que surgen con frecuencia, por lo que hace tiempo escribí programas cortos (solo unas pocas líneas de Fortran cada uno) para hacer cada uno de ellos. Todo lo que tuve que hacer en esta ocasión era casar juntos estos programas existentes, adaptados a las funciones particulares que se necesitaban. De igual manera, un alumno reconocerá problemas similares para los que frecuentemente necesita una solución. Debes acumular y conservar un conjunto de estos pequeños programas para usarlos en el futuro siempre que los necesites. Por ejemplo, esta no es de ninguna manera la última vez que necesitarás la iteración de Newton-Raphson para resolver una ecuación. ¡Escribe un programa Newton-Raphson ahora y guárdalo para futuras ocasiones!