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7.1: Sin resistencia al aire

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Suponemos que una partícula se proyecta desde un punto O en el origen de un sistema de coordenadas, siendo ely eje -vertical y elx eje -dirigido a lo largo del suelo. La partícula se proyecta en elxy plano, con velocidad inicialV0 en ángulo con respectoα al horizonte. En cualquier momento posterior en su movimiento es su velocidadV y el ángulo que su movimiento hace con la horizontal esψ.

La componente horizontal inicial si la velocidad esV0cosα, y, en ausencia de resistencia al aire, esta componente horizontal permanece constante durante todo el movimiento. También me referiré a esta constante componente horizontal de la velocidad comou. Es decir,u=V0cosα= constante a lo largo del movimiento.

La componente vertical inicial de la velocidad esV0cosα, pero la componente vertical del movimiento se desacelera a una velocidad constanteg. En un momento posterior durante el movimiento, la componente vertical de la velocidad esV0cosψ, a la que también me referiré comov.

A continuación, escribo en la columna de la izquierda el componente horizontal de la ecuación de movimiento y la primera y segunda integrales de tiempo; en la columna derecha hago lo mismo para el componente vertical.

Horizontal Vertical
¨x=0 ¨y=g 7.1.1a,b
˙x=u=V0cosα ˙x=u=V0cosα 7.1.2a,b
˙x=u=V0tcosα ˙x=u=V0tcosα12gt2 7.1.3a,b

Las ecuaciones7.1.3a,b son las ecuaciones paramétricas a la trayectoria. En forma de vector, estas dos ecuaciones podrían escribirse como una sola ecuación vectorial:

r=V0t+12gt2

Observe el signo + en el lado derecho de la Ecuación7.1.4. El vector g se dirige hacia abajo.

Laxy ecuación -a la trayectoria se encuentra eliminandot entre Ecuaciones7.1.3a y7.1.3b para producir:

y=xtanαgx22V20cos2α

Ahora, reescribe esto en el formulario

x2()x=()y

Sumar a cada lado (la mitad del coeficiente de x) 2 para “completar el cuadrado” en el lado izquierdo, y, después de algún álgebra, se encontrará que la ecuación a la trayectoria se puede escribir como:

(xA)2=4a(yB),

donde

A=V20sinαcosαg=V0sin2α2g

B=V20sin2α2g

y

a=V20cos2α2g

Habiendo reorganizado la Ecuación7.1.5 en la forma7.1.6, vemos que la trayectoria es una parábola cuyo vértice está en (A, B). El rango en el plano horizontal es 2 A, oV20sin22αg El mayor rango en el plano horizontal se obtiene cuandosin2α = 1, oα = 45 o. El mayor rango en el plano horizontal es, por lo tanto,V20g La altura máxima alcanzada es B, oV20sin2α2g La distancia entre vértice y foco es a, oV20cos2α2g .El enfoque está por encima del suelo si esta es menor que la altura máxima, y por debajo suelo si es mayor que la altura máxima. Es decir, el foco está por encima del suelo sicos2α<cos2α. Es decir, el foco está por encima del suelo siα > 45 o y debajo del suelo siα < 45 o.

El radio de curvaturaρ en cualquier lugar a lo largo de la trayectoria se puede encontrar usando la fórmula habitualρ=(1+y2)32y. En la parte superior de la trayectoria,y=0, de manera que rho=1y Alternativamente (en caso de que uno haya olvidado o no esté familiarizado con la “fórmula habitual”), observamos que la velocidad en la parte superior de la trayectoria es igual a la componente horizontal (constante) de la velocidadV0cosα. Podemos entonces equiparar la aceleraciónV20cos2αρ centrípetag y, por lo tanto, obtener:

ρ=V20cos2αg.

Al restar esto de nuestra expresión para la altura máxima del proyectil, encontramos que la altura del centro de curvatura sobre el suelo esV20(13cos2α)2g El centro de curvatura está por encima del suelo siα > 54 o

44'.

El rango r en un plano inclinado en ánguloθ con la horizontal se puede encontrar sustituyendox=rcosθ and y=rsinθ en la Ecuación7.1.5 a la trayectoria. Esto resulta, después de un poco de álgebra, en

r=V20gcos2θ[sin(2αθ)sinθ].

Esto es mayor cuando2αθ = 90 o; i. e. cuando el ángulo de proyección biseca el ángulo entre el plano inclinado y la vertical. El rango máximo es

r=V20g(1+sinθ).

Esta es la ecuación, en coordenadas polares, de una parábola, y esta parábola, cuando gira alrededor de su eje vertical, describe un paraboloide, conocido como el paraboloide de la seguridad. Es la envolvente de todas las trayectorias posibles con una velocidad inicialV0. Si una pistola está disparando proyectiles con velocidad inicialV0, o un aspersor de césped está expulsando agua a velocidad inicialV0, usted está a salvo siempre y cuando esté fuera del paraboloide de seguridad. La Figura VII.1 muestra trayectorias para a = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140 y 160 grados, y, como línea discontinua, el paraboloide de seguridad. Observe cómo cambia el rango con a y que es mayor para a = 45 o.

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Ejercicio7.1.1

Una pistola proyecta un proyectil, en ausencia de resistencia al aire, en un ángulo inicialα con respecto a la horizontal. La velocidad de proyección varía con el ángulo de proyección y viene dada por

Velocidad inicial =V0cos12α

Demostrar que, para lograr el mayor rango en el plano horizontal, la concha debe proyectarse en un ángulo con respecto a la horizontal cuyo coseno c viene dado por la solución de la ecuación

3c3+2c22c1=0

Encuentra el ángulo óptimo con una precisión de un minuto de arco.


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