14: Mecánica Hamiltoniana

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La mecánica hamiltoniana se puede utilizar para describir sistemas simples como una bola que rebota, un péndulo o un resorte oscilante en el que la energía cambia de cinética a potencial y retrocede con el tiempo, su fuerza se muestra en sistemas dinámicos más complejos, como las órbitas planetarias en la mecánica celeste. Cuantos más grados de libertad tenga el sistema, más complicada es su evolución temporal.

14.1: Introducción a la Mecánica Hamiltoniana
La teoría de Hamilton —o más particularmente su extensión las ecuaciones de Hamilton-Jacobi— tiene aplicaciones en la mecánica celeste, y por supuesto los operadores hamiltonianos juegan un papel importante en la mecánica cuántica, aunque es dudoso que Sir William hubiera reconocido su autoría en ese sentido.
14.2: Una analogía termodinámica
Los lectores pueden haber notado de vez en cuando —particularmente en el Capítulo 9— que he percibido alguna conexión entre partes de la mecánica clásica y la termodinámica. Percibo tal analogía en el desarrollo de dinámicas hamiltonianas. Quienes están familiarizados con la termodinámica también pueden reconocer la analogía.
14.3: Ecuaciones de movimiento de Hamilton
En la mecánica clásica podemos describir el estado de un sistema especificando su lagrangiano en función de las coordenadas y sus tasas temporales de cambio.Sin embargo, a veces es conveniente cambiar la base de la descripción del estado de un sistema definiendo una cantidad llamada el hamiltoniano H.
14.4: Ejemplos de Mecánica Hamiltoniana
Haré dos ejemplos por métodos hamiltonianos: el simple oscilador armónico y el jabón deslizándose en una cuenca cónica. Ambos son sistemas conservadores, y podemos escribir el hamiltoniano como T+V, pero hay que recordar que estamos considerando lo hamiltoniano como una función de las coordenadas generalizadas y momenta.
14.5: Soportes Poisson
El soporte de Poisson es una operación binaria importante en la mecánica hamiltoniana, desempeñando un papel central en las ecuaciones de movimiento de Hamilton, que rigen la evolución temporal de un sistema dinámico hamiltoniano.

Miniaturas: La evolución temporal del sistema se define de manera única por las ecuaciones de Hamilton donde $H = H (q, p, t)$ es el hamiltoniano, que a menudo corresponde a la energía total del sistema. Para un sistema cerrado, es la suma de la energía cinética y potencial en el sistema.