14.4: Ejemplos de Mecánica Hamiltoniana

Haré dos ejemplos por métodos hamiltonianos: el simple oscilador armónico y el jabón deslizándose en una cuenca cónica. Ambos son sistemas conservadores, y podemos escribir el hamiltoniano como$T+V$, pero hay que recordar que estamos considerando al hamiltoniano como una función de las coordenadas generalizadas y momenta. Por lo tanto, generalmente escribiremos la energía cinética de traducción como$\frac{p^{2}}{(2m)}$ en lugar de como$\frac{1}{2}m\nu^{2}$, y la energía cinética rotacional como$\frac{L^{2}}{(2I)}$ en lugar de$\frac{1}{2}I\omega^{2}$

Oscilador armónico simple

La energía potencial es$\frac{1}{2}kx^{2}$, por lo que el hamiltoniano es

$$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}. \nonumber$$

A partir de la ecuación D, nos encontramos con eso$\dot{x}=\frac{p}{m}$, a partir de la cual, por diferenciación con respecto al tiempo,$\dot{p}=m\ddot{x}$. Y a partir de la ecuación C, nos encontramos con eso$\dot{p}=-kx$. De ahí que obtengamos la ecuación del movimiento$m\ddot{x}=-kx$.

Cuenca cónica

Nos referimos a la Sección 13.6:

$$T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2}) \nonumber$$

$$V=mgr\cos\alpha \nonumber$$

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})-mgr\cos\alpha \nonumber$$

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})+mgr\cos\alpha \nonumber$$

Pero, en la formulación hamiltoniana, tenemos que escribir el hamiltoniano en términos de la momenta generalizada, y necesitamos saber cuáles son. Podemos obtenerlos a partir del lagrangiano y la ecuación A aplicada a cada coordenada en turno. Así

$$P_{r}=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \label{14.4.1}$$

y

$$P_{\phi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}. \label{14.4.2}$$

Así el hamiltoniano es

$$H=\frac{P_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\phi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+mgr\cos\alpha. \label{14.4.3}$$

Ahora podemos obtener las ecuaciones de movimiento aplicando la ecuación D a su vez a$r$$\phi$ y luego la ecuación C en turno a$r$ y$\phi$:

$$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}, \label{14.4.4}$$

$$\dot{\phi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\phi}}=\frac{p_{\phi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}, \label{14.4.5}$$

$$\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\phi}^{2}}{mr^{3}\sin^{2}\alpha}-mg\cos\alpha, \label{14.4.6}$$

$$\dot{p_{\phi}}=\frac{\partial H}{\partial\phi}=0. \label{14.4.7}$$

Ecuaciones$\ref{14.4.2}$ y nos$\ref{14.4.7}$ dicen que$mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}$ es constante y por lo tanto que

$$r^{2}\dot{\phi} \quad is \quad constant, =h,\quad say. \label{14.4.8}$$

Esta es una de las ecuaciones a las que llegamos desde la formulación lagrangiana, y expresa constancia del momento angular.

Por diferenciación de Ecuación$\ref{14.4.1}$ con respecto al tiempo, vemos que el lado izquierdo de la Ecuación$\ref{14.4.6}$ es$m\ddot{r}$. En el lado derecho de la Ecuación$\ref{14.4.6}$, tenemos$p_{\phi}$, que es constante e igual a$mh\sin^{2}\alpha$. Ecuación$\ref{14.4.6}$ por tanto se convierte

$$\ddot{r}=\frac{h^{2}\sin^{2}\alpha}{r^{3}}- g \cos \alpha, \label{14.4.9}$$

que también derivamos de la formulación lagrangiana.