14.4: Ejemplos de Mecánica Hamiltoniana
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Oscilador armónico simple
La energía potencial es\( \frac{1}{2}kx^{2}\), por lo que el hamiltoniano es
\[ H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}. \nonumber \]
A partir de la ecuación D, nos encontramos con eso\( \dot{x}=\frac{p}{m}\), a partir de la cual, por diferenciación con respecto al tiempo,\( \dot{p}=m\ddot{x}\). Y a partir de la ecuación C, nos encontramos con eso\( \dot{p}=-kx\). De ahí que obtengamos la ecuación del movimiento\( m\ddot{x}=-kx\).
Cuenca cónica
Nos referimos a la Sección 13.6:
\[ T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2}) \nonumber \]
\[ V=mgr\cos\alpha \nonumber \]
\[ L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})-mgr\cos\alpha \nonumber \]
\[ L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}^{2})+mgr\cos\alpha \nonumber \]
Pero, en la formulación hamiltoniana, tenemos que escribir el hamiltoniano en términos de la momenta generalizada, y necesitamos saber cuáles son. Podemos obtenerlos a partir del lagrangiano y la ecuación A aplicada a cada coordenada en turno. Así
\[ P_{r}=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \label{14.4.1} \]
y
\[ P_{\phi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}. \label{14.4.2} \]
Así el hamiltoniano es
\[ H=\frac{P_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\phi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+mgr\cos\alpha. \label{14.4.3} \]
Ahora podemos obtener las ecuaciones de movimiento aplicando la ecuación D a su vez a\( r\)\( \phi\) y luego la ecuación C en turno a\( r\) y\( \phi\):
\[ \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}, \label{14.4.4} \]
\[ \dot{\phi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\phi}}=\frac{p_{\phi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}, \label{14.4.5} \]
\[ \dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\phi}^{2}}{mr^{3}\sin^{2}\alpha}-mg\cos\alpha, \label{14.4.6} \]
\[ \dot{p_{\phi}}=\frac{\partial H}{\partial\phi}=0. \label{14.4.7} \]
Ecuaciones\( \ref{14.4.2}\) y nos\( \ref{14.4.7}\) dicen que\( mr^{2}\sin^{2}\alpha\dot{\phi}\) es constante y por lo tanto que
\[ r^{2}\dot{\phi} \quad is \quad constant, =h,\quad say. \label{14.4.8} \]
Esta es una de las ecuaciones a las que llegamos desde la formulación lagrangiana, y expresa constancia del momento angular.
Por diferenciación de Ecuación\( \ref{14.4.1}\) con respecto al tiempo, vemos que el lado izquierdo de la Ecuación\( \ref{14.4.6}\) es\( m\ddot{r}\). En el lado derecho de la Ecuación\( \ref{14.4.6}\), tenemos\( p_{\phi}\), que es constante e igual a\( mh\sin^{2}\alpha\). Ecuación\( \ref{14.4.6}\) por tanto se convierte
\[ \ddot{r}=\frac{h^{2}\sin^{2}\alpha}{r^{3}}- g \cos \alpha, \label{14.4.9} \]
que también derivamos de la formulación lagrangiana.