15.10: Dilatación del Tiempo

Imaginamos el mismo tren ferroviario$\sum'$ y la$\sum$ misma estación ferroviaria que en el tramo anterior excepto que, en lugar de medir una longitud referida a los dos marcos de referencia, medimos el intervalo de tiempo entre dos eventos. Supondremos que un pasajero del tren del ferrocarril$\sum'$ aplaude dos veces. Se trata de dos eventos que, al ser referidos al marco de referencia$\sum'$, tienen lugar en el mismo lugar cuando se hace referencia a este marco de referencia. Que los instantes de tiempo en que ocurran los dos eventos, referidos$\sum'$, sean$t'_{1}$ y$t'_{2}$. El intervalo de tiempo$T'$ se define como$t'_{2}-t'_{1}$. Pero la transformación de Lorentz es

$$t=\gamma(t'+\frac{\nu x'}{c^{2}}) \nonumber$$

y así el intervalo de tiempo cuando se hace referencia$\sum$ es

$$T=\gamma T'. \label{15.10.1}$$

Esta es la dilatación del tiempo. La situación se ilustra mediante un diagrama de Minkowski en la Figura XV.13. Si bien queda claro a partir de la figura que$T=T'\cos\theta$ y por tanto$T=\gamma T'$ que no queda tan claro a partir de la figura que esto significa que$T$ es mayor que$T'$ —porque$\cos\theta > 1$ y$\theta$ es imaginario.

Así, supongamos que un pasajero en el tren sostiene una varilla de medición de 1 metro (su longitud en la dirección de movimiento del tren) y aplaude con un intervalo de un segundo de diferencia. Supongamos que el tren se mueve al 98% de la velocidad de la luz ($\gamma$= 5.025). En ese caso el jefe de estación piensa que la longitud de la varilla es de sólo 19.9 cm y que el intervalo de tiempo entre las palmadas es de 5.025 segundos.

Deliberadamente no pronuncié muy bien esa última frase. No se trata de lo que el jefe de estación o cualquier otra persona “piense” o “afirme”. No es cuestión que el jefe de estación sea engañado de alguna manera haciéndole creer erróneamente que la vara mide 19.9 cm de largo y los aplaude 5.025 segundos de distancia, mientras que están “realmente” a 1 metro de largo y 1 segundo de distancia. Se trata de cómo se definen la longitud y el tiempo (restando dos coordenadas espaciales determinadas al mismo tiempo, o dos coordenadas de tiempo en el mismo lugar) y cómo se definen las coordenadas espacio-tiempo por medio de las transformaciones de Lorentz. La longitud es de 19.9 cm, y el intervalo de tiempo es de 5.025 segundos cuando se refiere al marco$\sum$. Es cierto que la longitud adecuada y el intervalo de tiempo adecuado son la longitud y el intervalo de tiempo referido a un marco en el que la varilla y el los chapujos están en reposo. En ese sentido se podría decir vagamente que tienen “realmente” 1 metro de largo y 1 segundo de distancia. Pero la contracción de Lorentz y la dilatación del tiempo no están determinadas por lo que el jefe de estación o cualquier otra persona “piensa”.

Otra forma de verlo es esta. El intervalo$s$ entre dos eventos es claramente independiente de la orientación de cualquier marco de referencia, y es el mismo cuando se hace referencia a dos marcos de referencia que pueden estar inclinados entre sí. Pero no se espera que los componentes del vector que une dos eventos, o sus proyecciones sobre el eje de tiempo o un eje espacial en absoluto sean iguales.

Por cierto, en la Sección 15.3 le exhorté a escribir un programa de computadora o calculadora para la conversión instantánea entre los diversos factores que comúnmente se encuentran en la relatividad. Aún así lo exhorto. Tan pronto como escribí que el tren viajaba al 98% de la velocidad de la luz, al instante pude generar$\gamma$. Necesitas poder hacer eso, también.