15.10: Dilatación del Tiempo

Imaginamos el mismo tren ferroviario\( \sum'\) y la\( \sum\) misma estación ferroviaria que en el tramo anterior excepto que, en lugar de medir una longitud referida a los dos marcos de referencia, medimos el intervalo de tiempo entre dos eventos. Supondremos que un pasajero del tren del ferrocarril\( \sum'\) aplaude dos veces. Se trata de dos eventos que, al ser referidos al marco de referencia\( \sum'\), tienen lugar en el mismo lugar cuando se hace referencia a este marco de referencia. Que los instantes de tiempo en que ocurran los dos eventos, referidos\( \sum'\), sean\( t'_{1}\) y\( t'_{2}\). El intervalo de tiempo\( T'\) se define como\( t'_{2}-t'_{1}\). Pero la transformación de Lorentz es

\[ t=\gamma(t'+\frac{\nu x'}{c^{2}}) \nonumber \]

y así el intervalo de tiempo cuando se hace referencia\( \sum\) es

\[ T=\gamma T'. \label{15.10.1} \]

Esta es la dilatación del tiempo. La situación se ilustra mediante un diagrama de Minkowski en la Figura XV.13. Si bien queda claro a partir de la figura que\( T=T'\cos\theta\) y por tanto\( T=\gamma T'\) que no queda tan claro a partir de la figura que esto significa que\( T\) es mayor que\( T'\) —porque\( \cos\theta > 1\) y\( \theta\) es imaginario.

Así, supongamos que un pasajero en el tren sostiene una varilla de medición de 1 metro (su longitud en la dirección de movimiento del tren) y aplaude con un intervalo de un segundo de diferencia. Supongamos que el tren se mueve al 98% de la velocidad de la luz (\( \gamma\)= 5.025). En ese caso el jefe de estación piensa que la longitud de la varilla es de sólo 19.9 cm y que el intervalo de tiempo entre las palmadas es de 5.025 segundos.

Deliberadamente no pronuncié muy bien esa última frase. No se trata de lo que el jefe de estación o cualquier otra persona “piense” o “afirme”. No es cuestión que el jefe de estación sea engañado de alguna manera haciéndole creer erróneamente que la vara mide 19.9 cm de largo y los aplaude 5.025 segundos de distancia, mientras que están “realmente” a 1 metro de largo y 1 segundo de distancia. Se trata de cómo se definen la longitud y el tiempo (restando dos coordenadas espaciales determinadas al mismo tiempo, o dos coordenadas de tiempo en el mismo lugar) y cómo se definen las coordenadas espacio-tiempo por medio de las transformaciones de Lorentz. La longitud es de 19.9 cm, y el intervalo de tiempo es de 5.025 segundos cuando se refiere al marco\( \sum\). Es cierto que la longitud adecuada y el intervalo de tiempo adecuado son la longitud y el intervalo de tiempo referido a un marco en el que la varilla y el los chapujos están en reposo. En ese sentido se podría decir vagamente que tienen “realmente” 1 metro de largo y 1 segundo de distancia. Pero la contracción de Lorentz y la dilatación del tiempo no están determinadas por lo que el jefe de estación o cualquier otra persona “piensa”.

Otra forma de verlo es esta. El intervalo\( s\) entre dos eventos es claramente independiente de la orientación de cualquier marco de referencia, y es el mismo cuando se hace referencia a dos marcos de referencia que pueden estar inclinados entre sí. Pero no se espera que los componentes del vector que une dos eventos, o sus proyecciones sobre el eje de tiempo o un eje espacial en absoluto sean iguales.

Por cierto, en la Sección 15.3 le exhorté a escribir un programa de computadora o calculadora para la conversión instantánea entre los diversos factores que comúnmente se encuentran en la relatividad. Aún así lo exhorto. Tan pronto como escribí que el tren viajaba al 98% de la velocidad de la luz, al instante pude generar\( \gamma\). Necesitas poder hacer eso, también.