15.24: Energía cinética
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(Un punto sobre la notación puede estar en orden aquí. He estado usando el símbolo\( \bf{v}\) y\( v\) para la velocidad y velocidad de un cuadro\( \Sigma'\) relativo a un cuadro\( \Sigma\), y mi elección de ejes sin pérdida significativa de generalidad ha sido tal que se\( \bf{v}\) ha dirigido paralelo al\( x\) eje -eje. He estado usando el símbolo\( \bf{u}\) para la velocidad (speed =\( u\)) de una partícula relativa al marco\( \Sigma\). Por lo general el símbolo\( \gamma\) ha significado\( \left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}\), pero aquí lo estoy usando para significar\( \left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}\). Espero que esto no cause demasiada confusión y que el contexto lo deje claro. Jugué con la idea de usar un símbolo diferente, pero pensé que esto podría empeorar las cosas. Sólo esté en guardia, de todos modos.)
Tenemos, entonces
\[ \bf{F}=m_{0}(\dot{\gamma}u+\gamma\dot{u}) \label{15.24.1} \]
y por lo tanto
\[ \dot{T}=m_{0}(\dot{\gamma}u^{2}+\gamma\bf{\dot{u}\cdot u}). \label{15.24.2} \]
Haciendo uso de las Ecuaciones 15.23.5 y 15.23.6 obtenemos
\[ \dot{T}=\dot{\gamma}m_{0}c^{2} \label{15.24.3} \]
Integrar con respecto al tiempo, con la condición de que cuando\( \gamma\) = 1,\( T\) = 0, y obtengamos la siguiente expresión para la energía cinética:
\[ T=(\gamma-1)m_{0}c^{2}. \label{15.24.4} \]
Ejercicio. Ampliar\( \gamma\) por el teorema binomial en cuanto a\( \frac{u^{2}}{c^{2}}\), y mostrar que, a este orden,\( T=\frac{1}{2}mu^{2}\).
Aquí presento el símbolo adimensional
\[ K=\frac{T}{m_{0}c^{2}}=\gamma-1 \label{15.24.5} \]
para significar la energía cinética en unidades de\( m_{0}c^{2}\). La segunda mitad de esto ya se dio como Ecuación 15.3.5.