16.6: Centro de Presión
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La fuerza sobre la franja de área\( dA\) a profundidad\( z\) es, como hemos visto\( \rho gzdA\), así es el primer momento de esa fuerza\( \rho gz^{2}dA\). El momento total es por lo tanto\( \rho g\int z^{2}dA\) que es, por definición de radio de giro\( k\), (ver Capítulo 2),\( \rho gk^{2}A\). La fuerza total, como hemos visto, es\( pg\overline{z}A\) y el momento total va a ser estos tiempos\( \zeta\). Así, la profundidad del centro de presión es
\[ \zeta = \dfrac{k^{2}}{\overline{z}} \label{16.6.1} \]
Un canal semicircular de radio\( a\) se llena de agua, densidad\( \rho\). Un extremo semicircular del canal se articula libremente en su diámetro (la línea gruesa en la Figura). ¿Qué fuerza se debe ejercer en la parte inferior del canal para evitar que el extremo se abra?
Solución
El área del semicírculo es\( \frac{1}{2}\pi a^{2}\). La profundidad del centroide es\( \frac{4a}{3\pi}\) así que la fuerza hidrostática total es\( \frac{2}{3}\rho ga^{2}\). El cuadrado del radio de giro es\( \frac{1}{4}a^{2}\), por lo que la profundidad del centro de presión es\( \zeta = \frac{3\pi}{16}a\). El momento de las fuerzas hidrostáticas es por lo tanto\( \frac{1}{8}\pi\rho ga^{3}\). Si la fuerza requerida es\( F\), ésta debe ser igual\( Fa\), y por lo tanto\( F=\frac{1}{8}\pi\rho ga^{2}\).