16.9: Cuerpos Flotantes

Este es el tema más asqueroso en la hidrostática.

Podemos comenzar con una observación que ya hicimos en la Sección 16.7, a saber, que, si un cuerpo está flotando libremente, el empuje ascendente hidrostático es igual al peso del cuerpo.

También presento aquí el término centro de flotabilidad, que es el centro de masa del fluido desplazado. En un cuerpo libre flotante en equilibrio, el centro de flotabilidad se encuentra verticalmente por debajo del centro de masa del cuerpo flotante. En lo que respecta al cálculo del momento alrededor de algún eje del empuje ascendente hidrostático, se puede considerar que el empuje ascendente actúa a través del centro de flotabilidad, así como se puede considerar que el peso de un objeto actúa a través de su centro de masa. Véase la Sección 1.1 del Capítulo 1, por ejemplo, para una discusión de este punto.

Además, antes de ponernos en marcha, aquí hay otro pequeño problema.

Problema 8

El dibujo muestra un cuerpo, cuya densidad relativa (es decir, su densidad relativa a la del fluido en el que está flotando) es\( s_{1}\). La línea discontinua es la sección de la línea de agua.

Ahora, en el siguiente dibujo, un cuerpo exactamente del mismo tamaño y forma (pero no necesariamente de la misma densidad) flota boca abajo, con la misma sección de línea de agua.

¿Cuál es la densidad relativa de este segundo cuerpo?

Contestar

Establezcamos alguna notación.

\( V\)= volumen total de cada cuerpo

\( fV\)= volumen de líquido desplazado por el primer cuerpo (es decir, volumen por debajo de la línea de flotación en el primer dibujo)

\( (1-f)V\)= volumen de líquido desplazado por el segundo cuerpo (es decir, volumen por debajo de la línea de flotación en el segundo dibujo)

\( \rho_{0}\)= densidad del líquido

\( \rho_{1}\) = densidad del primer cuerpo =\( s_{1}\rho_{0}\)

\( \rho_{2}\) = densidad del primer cuerpo =\( s_{2}\rho_{0}\)

\( \text{g}\)= aceleración gravitacional

Ahora:

Peso del primer cuerpo = peso del líquido desplazado:\( V\rho_{1}\text{g}=fV\rho_{0}\text{g}\) I.e.\( s_{1}=f\)

Peso del segundo cuerpo = peso del líquido desplazado:\( V\rho_{2}\text{g}=(1-f)V\rho_{0}\text{g}\) I.e.\( s_{2}=f\)

De ahí\( \underline{\underline{s_{2}=f}}\).

Quiero mirar ahora la estabilidad del equilibrio de un cuerpo que flota de forma libre. Si bien a primera vista este puede no ser un tema muy interesante, si alguna vez es un pasajero en un transatlántico, entonces podría resultarle bastante interesante, porque le interesará saber, si se le da al transatlántico un pequeño desplazamiento angular desde la posición vertical, si volcará y te arrojará al mar, o si va a encortarse por sí mismo. En tales circunstancias se convierte efectivamente en un tema muy interesante.

Antes de comenzar, solo quiero establecer un pequeño resultado geométrico.

La Figura XVI.9 muestra un área plana bilateralmente simétrica. He dibujado una línea discontinua a través del centroide de la zona. Las áreas a la izquierda y derecha de esta línea son\( A_{1}\) y\( A_{2}\), y he indicado las posiciones de los centroides de estas dos áreas. (No he calculado las posiciones de los tres centroides con precisión — solo los dibujé aproximadamente donde pensé que estarían). Tenga en cuenta que, dado que la línea discontinua atraviesa el centroide de toda el área,\( A_{1}\overline{x}_{1}=A_{2}\overline{x}_{2}\). Ahora gire el área alrededor de la línea discontinua a través de un ángulo\( \theta\). Por el teorema de Pappus (ver Capítulo 1, Sección 1.6), el volumen barrido por\( A_{1}\) es\( A_{1}\times\overline{x}_{1}\theta\) y el volumen barrido por\( A_{2}\) es\( A_{2} \times \overline{x}_{2} \theta\). Así hemos establecido el resultado geométrico que quería, es decir, que cuando un área bilateralmente simétrica se gira alrededor de un eje perpendicular a su eje de simetría y que pasa por su centroide, las áreas a izquierda y derecha del eje de rotación barren volúmenes iguales.

Ahora podemos regresar a cuerpos flotantes, y voy a considerar la estabilidad de equilibrio de un cuerpo flotante bilateralmente simétrico a un desplazamiento rotacional alrededor de un eje que se encuentra en la sección de la línea de flotación y perpendicular al eje de simetría.

He dibujado en la figura XVI.10 el centro de masa C de todo el cuerpo, el centro de flotabilidad H, y el centroide de la sección de la línea de flotación. El cuerpo es bilateralmente simétrico sobre el plano del papel, y vamos a rotar el cuerpo alrededor de un eje a través de O perpendicular al plano del papel, y queremos saber si el equilibrio es estable frente a tal desplazamiento angular. Vamos a girarlo de tal manera que el volumen sumergido quede inalterado por la rotación —lo que significa que el empuje ascendente hidrostático permanecerá igual al peso del cuerpo, y no habrá aceleración vertical. El teorema geométrico que acabamos de establecer muestra que, si giramos el cuerpo alrededor de un eje a través del centroide de la sección de la línea de agua, el volumen sumergido será constante; a la inversa, nuestra condición de que el volumen sumergido sea constante implica que la rotación es alrededor de un eje a través del centroide de la sección de la línea de agua.

Voy a establecer un conjunto de ejes rectangulares, origen O, con el\( x\) eje -eje a la derecha, el\( y\) -eje hacia usted, y el\( z\) -eje hacia abajo. Voy a llamar a la profundidad del centro H de flotabilidad\( \overline{z}\). Ahora vamos a llevar a cabo la rotación sobre O a través de un ángulo\( \theta\).

He dibujado la posición del nuevo centro de flotabilidad H' y deseo encontrar sus coordenadas\( (\overline{x}',\overline{z}')\) relativas a O. Encontraremos que se ha movido un poco horizontalmente en comparación con la posición original de H, pero su profundidad casi no cambia. En efecto, para los pequeños\( \theta\), encontraremos que\( \overline{z}'-\overline{z}\) es de orden\( \theta^{2}\), mientras que\( \overline{x}'-\overline{x}\) es de orden\( \theta\). Así, a primer orden en\( \theta\), asumiré que la profundidad del centro de flotabilidad se ha mantenido sin cambios.

No obstante, la coordenada\( \overline{x}'\) del nuevo centro de flotabilidad será de interés por la siguiente razón. El peso del cuerpo actúa en su centro de masa C mientras que el empuje ascendente hidrostático actúa en el nuevo centro de flotabilidad H' y estas dos fuerzas forman un par y ejercen un par. Comprenderá a partir de la figura XVI.11 que si H' está a la izquierda de C, el par derrumbará el cuerpo, mientras que si H' está a la derecha de C, el par estabilizará el cuerpo. De hecho, la distancia horizontal entre C y H' se conoce como la palanca de derecha. El punto en la línea COH verticalmente por encima de H' se llama el metacentro. No lo he dibujado en el diagrama, para minimizar el desorden, pero utilizaré el símbolo M para indicar el metacentro. Podemos ver que la condición para la estabilidad del equilibrio es que HM > HC. Es por ello que nos interesa encontrar la posición exacta del nuevo centro de flotabilidad H'.

En la parte superior de la figura XVI.12 he dibujado los tramos antiguos y nuevos de la línea de flotación vistos desde un costado, y en la parte inferior he dibujado el nuevo tramo de línea de agua visto desde arriba. He indicado un volumen elemental de ancho\( \delta x\) del fluido desplazado a una distancia\( x\) del centroide O de la sección de la línea de agua. Para pequeños\( \theta\) la profundidad de este elemento es\( x\theta\). Llamemos a su área en la sección de línea de agua\( \delta A\), para que el elemento de volumen sea\( x\theta\delta A\). Llamaremos al volumen total del fluido desplazado (que no se ve alterado por la rotación)\( V\).

Considera los momentos de volumen alrededor del\( x\) eje. Tenemos

\( V\overline{z}'=V\overline{z}\ -\ \int_{O}^{A'}\frac{1}{2}x\theta .x\theta\delta A\ +\ \int_{O}^{B'}\frac{1}{2}x\theta .x\theta\delta A\)

\[ V(\overline{x}'-\overline{x})=\theta\int_{A'}^{B'}x^{2}dA. \label{16.9.1} \]

Así, como se afirmó anteriormente, el desplazamiento vertical del centro de flotabilidad es de orden\( \theta^{2}\), y, a primer orden en,\( \theta\) puede ser descuidado.

Ahora considere los momentos de volumen alrededor del\( y\) eje -eje. Tenemos

\( V\overline{x}'=V\overline{x}\ -\ \int_{O}^{A'}x\theta\ dA\ x\ +\ \int_{O}^{A'}x\theta\ dA\ x\)

\[ V\ (\overline{x}'-\overline{x})\ =\ \theta\int_{A'}^{B'}x^{2}dA. \label{16.9.2} \]

Pero la integral en el lado derecho de la Ecuación\( \ref{16.9.2}\) es\( Ak^{2}\), donde\( A\) está el área de la sección de la línea de agua, y\( k\) es su radio de giro.

Así

\[ HH'=\frac{Ak^{2}\theta}{V}. \label{16.9.3} \]

Ahora\( HH'\ =\ HM\ \sin\ \theta\), donde M es el metacentro, o, a primer orden en\( \theta\), HH '= HM%\( \theta\).

\[ \text{HM}\ =\ \frac{Ak^{2}}{V}. \label{16.9.4} \]

Por lo tanto, la condición para la estabilidad del equilibrio es que

\[ \frac{Ak^{2}}{V}>\text{HC}. \label{16.9.5} \]

Aquí,\( A\) y\( k^{2}\) refiérase a la sección de la línea de agua,\( V\) es el volumen sumergido, y HC es la distancia entre el centro de flotabilidad y el centro de masa.

Ejemplo. Supongamos que el cuerpo es un cubo de lado\( 2a\) y de densidad relativa\( s\). La sección de la línea de agua es un cuadrado, y\( A=4a^{2}\) y\( k^{2}=\frac{a^{2}}{3}\). El volumen sumergido es\( 8a^{3}s\). La distancia entre los centros de masa y flotabilidad es\( a(1-s)\), y así la condición para la estabilidad es

\[ \frac{a}{6s}>a(1-s) \label{16.9.6} \]

El equilibrio es inestable si

\[ 6s^{2}\ -\ 6s \ +\ 1<0. \label{16.9.7} \]

Es decir, el equilibrio es inestable si\( s\) está entre\( 0.2113\) y\( 0.7887\). El cubo flotará verticalmente solo si la densidad es menor que\( 0.2113\) o si es mayor que\( 0.7887\).

Problema 9

Aquí en Columbia Británica hay una gran industria maderera, y muchos troncos flotan horizontalmente en el agua. Poco a poco se vuelven anegados y, cuando la densidad de un tronco es casi tan densa como el agua, la posición vertical se vuelve estable y el tronco se inclina hacia la posición vertical, casi todo sumergido, con solo una pulgada más o menos por encima de la superficie. Entonces se convierte en un peligro para los barcos. Si la longitud del tronco es\( 2l\) y su radio es\( a\), ¿cuál es la menor densidad relativa para la que la posición vertical es estable?

Contestar

La condición para la estabilidad del equilibrio es que

\( \frac{Ak^{2}}{V}>\text{HC}\)

Aquí,\( A\) y\( k^{2}\) refiérase a la sección de la línea de agua,\( V\) es el volumen sumergido, y HC es la distancia entre el centro de masa y el centro de flotabilidad.

En el presente caso tenemos un tronco de radio\( a\) y longitud\( 2l\). En este caso

\( A=\pi a^{2},\quad k^{2}=\frac{1}{2}a^{2},\quad V=2\pi a^{2}l\).

\( \frac{Ak^{2}}{V}=\frac{a^{2}}{4l}\)

Densidad de log =\( \rho\) Densidad del agua =\( \rho_{0}\) Densidad relativa\( s=\frac{\rho}{\rho_{0}}\) Algunas distancias: AB =\( 2l\) AC =\( l\) SB =\( 2ls\) AS =\( 2l(1-s)\) SH =\( ls\) SC = AC - AS =\( 2ls-l\) 2ls-l\) HC = SH - SC =\( l(1-s)\) La condición para la estabilidad es que\( \frac{a^{2}}{4l}>l(1-s)\) Es decir:\( s>1\ -\frac{1}{4}\left(\frac{\text{diameter}}{\text{length}}\right)^{2}\).

longitud/diámetro =	0.5	0.71	1	2	10	40
densidad relativa >	0	0.50	0.75	0.9375	0.9975	0.9988

Un tronco plano, cuya longitud es menor a la mitad de su diámetro, flota con su eje vertical, sea cual sea su densidad (siempre y cuando, por supuesto, sea menor que la del agua, cuando se hundirá). Si su longitud es igual a su diámetro, flotará verticalmente siempre que su densidad sea al menos 0.75 la del agua. Un tronco muy largo flota horizontalmente hasta que está casi completamente saturado de agua, y luego se volcará a una posición vertical, casi completamente sumergida, cuando no es fácilmente visible y entonces es un peligro para las embarcaciones. La condición para el equilibrio estable flotante verticalmente se ilustra en los dos gráficos siguientes.

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