19.9: El péndulo cicloidal
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\[\begin{align} x &= a(2 \theta - \sin 2 \theta ) \label{19.9.1} \\[4pt] y &= 2a \cos ^2 \theta \label{19.9.2} \end{align} \]
mostrado con la línea gruesa en la Figura XIX.10. Ahora suspenda un péndulo de longitud\(4a\) desde la cúspide, y permita que oscile de un lado a otro, envolviéndose parcialmente contra el marco de madera mientras lo hace. Si la longitud del arco desde la cúspide hasta P es\(s\), entonces la longitud de la cuerda “libre” es\(4a − s\), y así las coordenadas del bob al final del péndulo son
\[ \begin{align} x &= a(2 \theta - \sin 2 \theta) + (4 a - s) \cos (180 ^\circ - \psi) \nonumber \\ &= a (2 \theta - \sin 2 \theta) + (4a - s) \sin \theta. \nonumber \end{align} \label{19.9.3} \]
y
\[\begin{align} y &= 2 a \cos^2 \theta - (4a - s) \sin (180 ^\circ - \psi) \nonumber \\&= 2 a \cos^2 \theta - (4a - s) \cos \theta \nonumber \end{align} \label{19.9.4} \]
(Deberá recordarse el significado exacto de\(\psi\) y también hacer uso de la Ecuación 19.4.20.) Ahora la Ecuación 19.4.18 dice u s eso, y, sobre la suposición de esto en ecuaciones\( \ref{19.9.3} \) y\( \ref{19.9.4} \), encontramos (después de muy poco álgebra y trigonometría) para las ecuaciones paramétricas al camino descrito por el bob del péndulo:
\[ x = a(2 \theta + \sin 2 \theta \label{19.9.5} \]
y
\[ y = -2 a \cos ^2 \theta. \label{19.9.6} \]
Así, la trayectoria del bob del péndulo (mostrada como una línea discontinua en la Figura XIX.10) es un cicloide, y por lo tanto su periodo es independiente de su amplitud. (Recordar Sección 19.5.) Así, el péndulo es isócrono o tautócrono. Es asombroso saber que Huygens construyó justamente tal péndulo hace ya en 1673.
