22.4: Deducir relaciones

i. Podemos suponer que el período\(P\) de un péndulo simple depende de su masa\(m\), su longitud\(l \) y la aceleración gravitacional\(g\). En particular suponemos que el periodo es proporcional a alguna potencia\( \alpha \) de la masa, alguna potencia\( \beta \) de la longitud, y alguna potencia\( \gamma \) de la aceleración gravitacional. Eso es

\( p \propto m^\alpha l ^ \beta g ^ \gamma \).

Ambos lados deben tener la misma dimensión, es decir, T.

Eso es

\( [ m^\alpha l ^ \beta g ^ \gamma ] = T\)

Eso es

\( \text{M}^\alpha \text{L}^\beta (\text{LT}^{-2}) ^\gamma = T \)

Igualamos potencias de M, L y T para obtener tres ecuaciones en\( \alpha, \beta, \gamma \):

\( \alpha = 0, \beta + \gamma = 0, -2 \gamma = 1, \)

con soluciones\( \alpha = 0, \beta = \frac{1}{2} , \gamma = - \frac{1}{2}\), lo que demuestra que

\( P \propto m^0l^{\frac{1}{2}} g^{-\frac{1}{2}} \), o\( P \propto \sqrt{\frac{l}{g}}\)

ii. Aquí hay otro: El par\( \tau \) requerido para torcer un cilindro metálico sólido a través de un ángulo\( \theta \) es proporcional a\( \theta \):\( \tau = c \theta\).

\(c\)es la constante de torsión. ¿Cómo\(c\) depende de la longitud\(l\) y el radio\(a\) del cilindro, su densidad\( \rho \) y su módulo de cizallamiento\( \eta\)? Hay una dificultad inmediata, en que tenemos cuatro cantidades a considerar −\( l, a, \rho \) y\(\eta \), sin embargo, sólo tenemos tres dimensiones L, M, T que tratar. De ahí que tendremos tres ecuaciones en cuatro incógnitas. Además, dos de las cantidades,\(l\) y\(a\) tienen dimensiones similares, lo que se suma a las dificultades.

En casos como este tal vez tengamos que hacer una suposición sensata sobre una de las cantidades. Podemos, por ejemplo, que nos resulte fácil aceptarlo, cuanto más largo sea el cilindro, más fácil sea girarlo, y podemos hacer la suposición de que la constante de torsión es inversamente proporcional a la primera potencia de su longitud. Entonces podemos suponer que

\( cl \propto a^\alpha \rho^\beta \eta^\gamma \)

en cuyo caso

\( [cl] \quad h \quad [ a^\alpha \rho^\beta \eta^\gamma] \)

Eso es

\( \text{ML}^2\text{T}^{-2}L \quad h \quad \text{L}^\alpha ( \text{ML}^{-3}) ^\beta (\text{ML}^{-1} \text {T}^ {-2}) ^\gamma \)

Equiparar los poderes de M, L y T:

\( 1 = \beta + \gamma; \qquad 3 = \alpha - 3 \beta - \gamma; \qquad -2 = -2\gamma\)

Esto da\( \alpha = 4, \beta = 0, \gamma = 1, \) y por lo tanto\( c \propto \frac{\eta a ^4}{l} \).

iii. ¿Cómo depende el período orbital\(P\) de un planeta del radio de su órbita, de la masa\(M\) del Sol y de la constante gravitacional\(G\)?

Asumir

\( P \propto G^\alpha M^\beta a^\gamma \)

Se deja al lector demostrar eso\( P \propto \sqrt{\frac{a^3}{GM}} \).

iv. Una esfera de radio a se mueve lentamente a una velocidad v a través de un fluido de densidad\( \rho \) y viscosidad dinámica\(\eta\). ¿Cómo\(F\) depende el arrastre viscoso de estas cuatro variables?

Cuatro variables, pero sólo tres dimensiones, ¡y de ahí tres ecuaciones! ¿Qué hacer? Si tienes mejor perspicacia que yo, o si ya conoces la respuesta, puedes asumir que no depende de la densidad. No tengo una visión tan clara, pero estaría dispuesto a suponer que la resistencia viscosa es proporcional a la primera potencia de la viscosidad dinámica. En cuyo caso estaría encantado de asumir que

\( \frac{F}{\eta} \propto a^\alpha \rho^\beta v^\gamma \)

Entonces

\(\frac{\text{MLT}^{-2} }{\text{ML}^{-1} \text{T}^{-1}} = \text{L}^\alpha (\text{ML}^{-3})^\beta ( \text{LT}^{-1} ) ^ \gamma \)

Equiparar los poderes de M, L y T:

\( 0 = \beta; \qquad 2 = \alpha - 3 \beta + \gamma' \qquad -1 = -\gamma\)

Esto da\( \alpha = 1, \beta = 0, \gamma = 1 \), y por lo tanto\( F \propto \eta a v \).