18: Oscilador impulsado
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Michael Fowler (siguiendo de cerca Landau para 22)
Considere un oscilador armónico simple unidimensional con una fuerza externa variable que actúa, por lo que la ecuación de movimiento es
\(\ddot{x}+\omega^{2} x=F(t) / m\)
que vendría del Lagrangiano
\(L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} k x^{2}+x F(t)\)
(Landau “deriva” esto como el término no constante de orden principal en un potencial externo dependiente del tiempo).
La solución general de la ecuación diferencial es\(x=x_{0}+x_{1}, \text { where } x_{0}=a \cos (\omega t+\alpha)\), la solución de la ecuación homogénea, y\(x_{1}\) es alguna integral particular de la ecuación no homogénea.
Un caso importante es el de una fuerza impulsora periódica\(F(t)=f \cos (\gamma t+\beta)\). Una solución de prueba\(x_{1}(t)=b \cos (\gamma t+\beta) \text { yields } b=f / m\left(\omega^{2}-\gamma^{2}\right) \text { so }\)
\(x(t)=a \cos (\omega t+\alpha)+\frac{f}{m\left(\omega^{2}-\gamma^{2}\right)} \cos (\gamma t+\beta)\)
Pero qué pasa cuando\(\gamma=\omega ?\) Para averiguarlo, toma parte de la primera solución en la segunda, es decir,
\(x(t)=a^{\prime} \cos \left(\omega t+\alpha^{\prime}\right)+\frac{f}{m\left(\omega^{2}-\gamma^{2}\right)}[\cos (\gamma t+\beta)-\cos (\omega t+\beta)]\)
El segundo término ahora va a\(0 / 0 \text { as } \gamma \rightarrow \omega\), así se convierte en la relación de sus primeras derivadas con respecto a\(\omega\) (o, equivalentemente,\(\gamma\)).
\(x(t)=a^{\prime} \cos \left(\omega t+\alpha^{\prime}\right)+\frac{f}{2 m \omega} t \sin (\omega t+\beta)\)
La amplitud de las oscilaciones crece linealmente con el tiempo. Obviamente, esta teoría de pequeñas oscilaciones se estrellará eventualmente.
Pero, ¿y si la frecuencia de la fuerza externa está ligeramente fuera de resonancia?
Entonces (parte real entendida)
\(x=A e^{i \omega t}+B e^{i(\omega+\varepsilon) t}=\left(A+B e^{i \varepsilon t}\right) e^{i \omega t}, \quad A=a e^{i \alpha}, \quad B=b e^{i \beta}\)
con\(a, b, \alpha, \beta\) real.
La amplitud de onda al cuadrado
\(C^{2}=\left|A+B e^{i \varepsilon t}\right|^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b \cos (\varepsilon t+\beta-\alpha)\)
Estamos viendo latidos, con frecuencia de latidos\(\varepsilon\). Obsérvese que si el oscilador comienza en el origen\(x(t=0)=0\), entonces\(A+B=0\) y la amplitud periódicamente va a cero, esto evidentemente sólo ocurre cuando\(|A|=|B|\).
La energía se intercambia de un lado a otro con la fuerza externa impulsora.