2.12: Ecuación de Schrodinger y colapso de función de onda

Hemos visto que la función de onda de una partícula libre de masa\(m\) satisface\[\label{e2.78} \psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\bar{\psi}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\,dk,\] donde\(\bar{\psi}(k)\) se determina por\(\psi(x,0)\), y se\[\label{e2.79} \omega(k) = \frac{\hbar\,k^{\,2}}{2\,m}.\] deduce de la Ecuación ([e2.78]) que\[\label{e2.80} \frac{\partial\psi}{\partial x} = \int_{-\infty}^{\infty}({\rm i}\,k)\,\bar{\psi}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\,dk,\] y\[\frac{\partial^{\,2}\psi}{\partial x^{\,2}} = \int_{-\infty}^{\infty}(-k^{\,2})\,\bar{\psi}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\,dk,\] mientras\[\frac{\partial \psi}{\partial t} = \int_{-\infty}^{\infty}(-{\rm i}\,\omega)\,\bar{\psi}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\,dk.\] Así,\[{\rm i}\,\frac{\partial\psi}{\partial t} +\frac{\hbar}{2\,m}\,\frac{\partial^{\,2}\psi}{\partial x^{\,2}} = \int_{-\infty}^{\infty}\left(\omega-\frac{\hbar\,k^{\,2}}{2\,m}\right)\bar{\psi}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\,dk= 0,\] donde se ha hecho uso de la relación de dispersión ([e2.79]). Multiplicando por\(\hbar\), obtenemos\[\label{e2.84} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\frac{\partial^{\,2}\psi}{\partial x^{\,2}}.\] Esta expresión se conoce como la ecuación de Schrödinger, porque fue introducida por primera vez por Erwin Schrödinger en 1926. La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial, lineal de segundo orden que gobierna la evolución temporal de una función de onda de partícula, y generalmente es más fácil de resolver que la ecuación integral ([e2.78]).

Por supuesto, la Ecuación ([e2.84]) sólo es aplicable a partículas que se mueven libremente. Afortunadamente, es bastante fácil adivinar la generalización de esta ecuación para partículas que se mueven en algún potencial\(V(x)\). Es plausible, a partir de la Ecuación ([e2.80]), que podamos identificarnos\(k\) con el operador diferencial\(-{\rm i}\,\partial/\partial x\). De ahí que el operador diferencial en el lado derecho de la Ecuación ([e2.84]) es equivalente a\(\hbar^{\,2}\,k^{\,2}/(2\,m)\). Pero,\(p = \hbar\,k\). Así, el operador también es equivalente a\(p^{\,2}/(2\,m)\), que es solo la energía de una partícula que se mueve libremente. Sin embargo, en presencia de un potencial\(V(x)\), se escribe la energía de la partícula\(p^{\,2}/(2\,m) + V\). Así, parece razonable hacer la sustitución\[-\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}}\rightarrow -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}} + V(x).\] Esto lleva a la forma general (unidimensional) de la ecuación de Schrödinger:\[{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\frac{\partial^{\,2}\psi}{\partial x^{\,2}} + V(x)\,\psi.\]

Colapso de función de onda

Considere una función de onda extendida,\(\psi(x,t)\). De acuerdo con nuestra interpretación habitual,\(|\psi(x,t)|^{\,2}\) es proporcional a la densidad de probabilidad de una medición de la posición de la partícula que produce el valor\(x\) en el momento\(t\). Si la función de onda se extiende entonces hay un amplio rango de valores probables que esta medición podría dar. Supongamos que hacemos tal medida, y obtenemos el valor\(x_0\). Ahora sabemos que la partícula se encuentra en\(x=x_0\). Si hacemos otra medición inmediatamente después de la primera entonces el sentido común nos dice que debemos obtener el mismo valor,\(x_0\), porque la partícula no puede haber desplazado de posición apreciablemente en un intervalo de tiempo infinitesimal. Así, inmediatamente después de la primera medición, una medición de la posición de la partícula es segura para dar el valor\(x_0\), y no tiene ninguna posibilidad de dar ningún otro valor. Esto implica que la función de onda debe haber colapsado a algún tipo de función de “pico” ubicada en\(x=x_0\). Esto se ilustra en la Figura [coll]. Por supuesto, en cuanto la función ondulada ha colapsado, empieza a expandirse nuevamente, como se discute en la Sección 1.13. Por lo tanto, la segunda medición debe hacerse razonablemente rápidamente después de la primera, para garantizar que se obtendrá el mismo resultado.

Figura 9: Colapso de la función de onda tras la medición de.

La discusión anterior ilustra un punto importante en la mecánica cuántica. Es decir, que la función de onda de una partícula cambia discontinuamente (en el tiempo) cada vez que se realiza una medición. Se concluye que existen dos tipos de evolución temporal de la función de onda en la mecánica cuántica. Primero, hay una evolución suave que se rige por la ecuación de Schrödinger. Esta evolución se lleva a cabo entre mediciones. En segundo lugar, hay una evolución discontinua que se produce cada vez que se realiza una medición.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)