4.3: Aproximación WKB

Considera que una partícula de masa\(m\) y energía\(E>0\) se mueve a través de algún potencial que varía lentamente\(V(x)\). La función de onda de la partícula satisface \[\label{e5.38} \frac{d^{\,2}\psi(x)}{dx^{\,2}} = - k^{\,2}(x)\,\psi(x),\]donde\[k^{\,2}(x) = \frac{2\,m\,[E-V(x)]}{\hbar^2}.\] Probemos una solución a la Ecuación ([e5.38]) de la forma \[\label{e5.40} \psi(x) = \psi_0\,\exp\left(\int_0^x{\rm i}\,k(x')\,dx'\right),\]donde\(\psi_0\) es una constante compleja. Tenga en cuenta que esta solución representa una partícula que se propaga en la\(x\) dirección positiva [porque la función de onda completa se multiplica por\(\exp(-{\rm i}\,\omega\,t)\), donde\(\omega=E/\hbar>0\)] con el número de onda continuamente variable\(k(x)\). De ello se deduce eso\[\frac{d\psi(x)}{dx} = {\rm i}\,k(x)\,\psi(x),\] y \[\label{e5.42} \frac{d^{\,2}\psi(x)}{dx^{\,2}} = {\rm i}\,k'(x)\,\psi(x) - k^{\,2}(x)\,\psi(x),\]dónde\(k'\equiv dk/dx\). Una comparación de las Ecuaciones ([e5.38]) y ([e5.42]) revela que la Ecuación ([e5.40]) representa una solución aproximada a la Ecuación ([e5.38]) siempre que el primer término en su lado derecho sea insignificante en comparación con el segundo. Esto produce el criterio de validez\(|k'|\ll k^{\,2}\), o \[\label{e5.43} \frac{k}{|k'|}\gg k^{-1}.\]en otras palabras, la variación longitud-escala de\(k(x)\), que es aproximadamente la misma que la variación longitud-escala de\(V(x)\), debe ser mucho mayor que la longitud de onda de Broglie de la partícula (que es de orden\(k^{-1}\)) . Supongamos que este es el caso. Por cierto, la aproximación involucrada en dejar caer el primer término en el lado derecho de la ecuación ([e5.42]) se conoce generalmente como la aproximación WKB, después de G. Wentzel, H.A. Kramers y L. Brillouin. Del mismo modo, la ecuación ([e5.40]) se denomina solución WKB.

Según la solución WKB ([e5.40]), la densidad de probabilidad permanece constante: es decir,\[|\psi(x)|^{\,2} = |\psi_0|^{\,2},\] mientras la partícula se mueva a través de una región en la que\(E>V(x)\), y en consecuencia\(k(x)\) sea real (es decir, una región permitida según la física clásica). Supongamos, sin embargo, que la partícula se encuentra con una barrera potencial (es decir, una región de la que se excluye la partícula según la física clásica). Por definición,\(E<V(x)\) dentro de tal barrera, y en consecuencia\(k(x)\) es imaginario. Que la barrera se extienda desde\(x=x_1\) hasta\(x_2\), donde\(0<x_1<x_2\). La solución WKB dentro de la barrera está escrita \[\label{e5.45} \psi(x) = \psi_1\,\exp\left(-\int_{x_1}^x |k(x')|\,dx'\right),\]donde\[\psi_1=\psi_0\,\exp\left(\int_0^{x_1}{\rm i}\,k(x')\,dx'\right).\] Aquí, hemos descuidado la solución no física de crecimiento exponencial.

Según la solución WKB ([e5.45]), la densidad de probabilidad decae exponencialmente dentro de la barrera: es decir,\[|\psi(x)|^{\,2} = |\psi_1|^{\,2}\,\exp\left(-2\,\int_{x_1}^x |k(x')|\,dx'\right),\] donde\(|\psi_1|^{\,2}\) está la densidad de probabilidad en el lado izquierdo de la barrera (i.e.,\(x=x_1\)). De ello se deduce que la densidad de probabilidad en el lado derecho de la barrera (i.e.,\(x=x_2\)) es\[|\psi_2|^{\,2} = |\psi_1|^{\,2}\,\exp\left(-2\,\int_{x_1}^{x_2} |k(x')|\,dx'\right).\] Tenga en cuenta que\(|\psi_2|^{\,2} < |\psi_1|^{\,2}\). Por supuesto, en la región a la derecha de la barrera (i.e.,\(x>x_2\)), la densidad de probabilidad toma el valor constante\(|\psi_2|^{\,2}\).

Podemos interpretar la relación de las densidades de probabilidad a la derecha y a la izquierda de la barrera potencial como la probabilidad,\(|T|^{\,2}\), de que una partícula incidente desde la izquierda haga un túnel a través de la barrera y emerja del otro lado: es decir, \[\label{e5.49} |T|^{\,2} = \frac{|\psi_2|^{\,2}}{|\psi_1|^{\,2}} = \exp\left(-2\,\int_{x_1}^{x_2} |k(x')|\,dx'\right).\](Ver Sección 1.3.) Se demuestra fácilmente que la probabilidad de que una partícula incida desde el túnel derecho a través de la barrera es la misma.

Obsérvese que el criterio ([e5.43]) para la validez de la aproximación WKB implica que la probabilidad de transmisión previa es muy pequeña. De ahí que la aproximación WKB solo se aplique a situaciones en las que hay muy pocas posibilidades de que una partícula atraviese la barrera potencial en cuestión. Desafortunadamente, el criterio de validez ([e5.43]) se descompone completamente en los bordes de la barrera (es decir, en\(x=x_1\) y\(x_2\)), porque\(k(x)=0\) en estos puntos. Sin embargo, se puede demostrar que la contribución de aquellas regiones, alrededor\(x=x_1\) y\(x_2\), en las que se descompone la aproximación de WKB, a la integral en la Ecuación ([e5.49]) es bastante insignificante. Por lo tanto, la expresión previa para la probabilidad de tunelización es una aproximación razonable siempre que la longitud de onda de Broglie de la partícula incidente sea mucho menor que la extensión espacial de la barrera potencial.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)