7.3: Momentum Angular Total

En general, una partícula puede tener tanto el giro como el momento angular orbital. Dado que L y S tienen las mismas dimensiones, podemos preguntar cuál es el momento angular total J de la partícula. Escribimos esto como

\[\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S} \equiv \mathbf{L} \otimes \mathbb{I}+\mathbb{I} \otimes \mathbf{S},\tag{7.46}\]

que enfatiza que los momentos orbitales y angulares de espín se describen en distintos espacios de Hilbert.

Desde entonces\(\left[L_{i}, S_{j}\right]=0\), tenemos

\ [\ begin {alineada}
\ izquierda [J_ {i}, J_ {j}\ derecha] &=\ izquierda [L_ {i} +S_ {i}, L_ {j} +S_ {j}\ derecha] =\ izquierda [L_ {i}, L_ {j}\ derecha] +\ izquierda [S_ {i}, S_ {j}\ derecha]\
&=i\ hbar\ épsilon_ {i j k} L_ {k} +i\ hbar\ épsilon_ {i j k} S_ {k} =i\ hbar\ épsilon_ {i j k}\ izquierda (L_ {k} +S_ {k}\ derecha)\\
&= i\ hbar\ epsilon_ {i j k} J_ {k}
\ end {alineado}\ tag {7.47}\]

En otras palabras, J obedece al mismo álgebra que L y S, e inmediatamente podemos traspasar la estructura de los autovalores y vectores propios de L y S.

Además, L y S deben agregarse como vectores. Sin embargo, solo uno de los componentes del momento angular total puede ser agudo (es decir, tener un valor definido). Recordemos que\(l\) y\(s\) son magnitudes del momento angular orbital y de giro, respectivamente. Podemos determinar los valores extremos de J, denotados por\(\pm j\), sumando y restando el giro del momento angular orbital, como se muestra en la Figura 3:

\[|l-s| \leq j \leq l+s.\tag{7.48}\]

Por ejemplo, cuándo\(l=1\) y\(s=\frac{1}{2}\), los posibles valores de\(j\) son\(j=\frac{1}{2}\) y\(j=\frac{3}{2}\).

Los operadores de desplazamiento para J son, en primer lugar,\(\mathbf{J}^{2}\) y\(J_{z}\) como esperamos del álgebra, pero también los operadores\(\mathbf{L}^{2}\) y\(\mathbf{S}^{2}\). Se puede pensar eso\(S_{z}\) y\(L_{z}\) también conmutar con estos operadores, pero que no es el caso:

\[\left[\mathbf{J}^{2}, L_{z}\right]=\left[(\mathbf{L}+\mathbf{S})^{2}, L_{z}\right]=\left[\mathbf{L}^{2}+2 \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}+\mathbf{S}^{2}, L_{z}\right]=2\left[\mathbf{L}, L_{z}\right] \cdot \mathbf{S} \neq 0\tag{7.49}\]

Podemos construir una base completa para el momento angular total en términos de\(\mathbf{J}^{2}\) y\(J_{z}\), como antes:

\[\mathbf{J}^{2}\left|j, m_{j}\right\rangle=\hbar^{2} j(j+1)\left|j, m_{j}\right\rangle \text { and } J_{z}\left|j, m_{j}\right\rangle=m_{j} \hbar\left|j, m_{j}\right\rangle.\tag{7.50}\]

Alternativamente, podemos construir estados propios de giro y momento angular orbital directamente como un producto tensor de los autoestados

\[\mathbf{L}^{2}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=\hbar^{2} l(l+1)|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle \quad \text { and } \quad L_{z}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=m \hbar|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle,\tag{7.51}\]

y

\[\mathbf{S}^{2}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=\hbar^{2} s(s+1)|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle \quad \text { and } \quad S_{z}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=m_{s} \hbar|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle.\tag{7.52}\]

Dado que el\(L_{z}\) y\(S_{z}\) no se conmutan con\(\mathbf{J}^{2}\), los estados no\(\left|j, m_{j}\right\rangle\) son los mismos que los estados\(|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle\).