7.3: Momentum Angular Total

En general, una partícula puede tener tanto el giro como el momento angular orbital. Dado que L y S tienen las mismas dimensiones, podemos preguntar cuál es el momento angular total J de la partícula. Escribimos esto como

$$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S} \equiv \mathbf{L} \otimes \mathbb{I}+\mathbb{I} \otimes \mathbf{S},\tag{7.46}$$

que enfatiza que los momentos orbitales y angulares de espín se describen en distintos espacios de Hilbert.

Desde entonces$\left[L_{i}, S_{j}\right]=0$, tenemos

\ [\ begin {alineada}
\ izquierda [J_ {i}, J_ {j}\ derecha] &=\ izquierda [L_ {i} +S_ {i}, L_ {j} +S_ {j}\ derecha] =\ izquierda [L_ {i}, L_ {j}\ derecha] +\ izquierda [S_ {i}, S_ {j}\ derecha]\
&=i\ hbar\ épsilon_ {i j k} L_ {k} +i\ hbar\ épsilon_ {i j k} S_ {k} =i\ hbar\ épsilon_ {i j k}\ izquierda (L_ {k} +S_ {k}\ derecha)\\
&= i\ hbar\ epsilon_ {i j k} J_ {k}
\ end {alineado}\ tag {7.47}\]

En otras palabras, J obedece al mismo álgebra que L y S, e inmediatamente podemos traspasar la estructura de los autovalores y vectores propios de L y S.

Además, L y S deben agregarse como vectores. Sin embargo, solo uno de los componentes del momento angular total puede ser agudo (es decir, tener un valor definido). Recordemos que$l$ y$s$ son magnitudes del momento angular orbital y de giro, respectivamente. Podemos determinar los valores extremos de J, denotados por$\pm j$, sumando y restando el giro del momento angular orbital, como se muestra en la Figura 3:

$$|l-s| \leq j \leq l+s.\tag{7.48}$$

Por ejemplo, cuándo$l=1$ y$s=\frac{1}{2}$, los posibles valores de$j$ son$j=\frac{1}{2}$ y$j=\frac{3}{2}$.

Los operadores de desplazamiento para J son, en primer lugar,$\mathbf{J}^{2}$ y$J_{z}$ como esperamos del álgebra, pero también los operadores$\mathbf{L}^{2}$ y$\mathbf{S}^{2}$. Se puede pensar eso$S_{z}$ y$L_{z}$ también conmutar con estos operadores, pero que no es el caso:

$$\left[\mathbf{J}^{2}, L_{z}\right]=\left[(\mathbf{L}+\mathbf{S})^{2}, L_{z}\right]=\left[\mathbf{L}^{2}+2 \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}+\mathbf{S}^{2}, L_{z}\right]=2\left[\mathbf{L}, L_{z}\right] \cdot \mathbf{S} \neq 0\tag{7.49}$$

Podemos construir una base completa para el momento angular total en términos de$\mathbf{J}^{2}$ y$J_{z}$, como antes:

$$\mathbf{J}^{2}\left|j, m_{j}\right\rangle=\hbar^{2} j(j+1)\left|j, m_{j}\right\rangle \text { and } J_{z}\left|j, m_{j}\right\rangle=m_{j} \hbar\left|j, m_{j}\right\rangle.\tag{7.50}$$

Alternativamente, podemos construir estados propios de giro y momento angular orbital directamente como un producto tensor de los autoestados

$$\mathbf{L}^{2}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=\hbar^{2} l(l+1)|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle \quad \text { and } \quad L_{z}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=m \hbar|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle,\tag{7.51}$$

y

$$\mathbf{S}^{2}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=\hbar^{2} s(s+1)|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle \quad \text { and } \quad S_{z}|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle=m_{s} \hbar|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle.\tag{7.52}$$

Dado que el$L_{z}$ y$S_{z}$ no se conmutan con$\mathbf{J}^{2}$, los estados no$\left|j, m_{j}\right\rangle$ son los mismos que los estados$|l, m\rangle\left|s, m_{s}\right\rangle$.