3.6: Estados coherentes

¿Cuál es la función de onda de un péndulo oscilante?

Considera un oscilador armónico simple macroscópico, y para mantener las cosas simples asume que no hay interacciones con el resto del universo. Sabemos describir el movimiento utilizando la mecánica clásica: para una posición inicial e impulso dados, la mecánica clásica predice correctamente el camino futuro, como lo confirman los experimentos con sistemas reales (ciertamente no perfectos). Pero desde el hamiltoniano también podríamos anotar la ecuación de Schrödinger, y a partir de eso predecir el comportamiento futuro del sistema. Como ya conocemos la respuesta de la mecánica clásica y del experimento, la mecánica cuántica debe darnos el mismo resultado en el caso limitante de un sistema grande.

Es un ejercicio que vale la pena ver cómo sucede esto. Evidentemente, no podemos simplemente seguir el método clásico de especificar la posición inicial y el impulso —el principio de incertidumbre no lo permitirá. Sin embargo, lo que podemos hacer es tomar un estado inicial en el que la posición y el impulso se especifiquen con la mayor precisión posible. Tal estado se llama estado de incertidumbre mínima (los detalles se pueden encontrar en mi conferencia anterior sobre el Principio de Incertidumbre Generalizada).

De hecho, el estado fundamental de un oscilador armónico simple es un estado de incertidumbre mínima. Esto no es demasiado sorprendente, es solo un paquete de ondas localizadas centrado en el origen. El sistema está lo más cerca posible de descansar, teniendo solo movimiento de punto cero. Lo sorprendente es que hay estados excitados del péndulo en los que este paquete de ondas de estado fundamental oscila hacia atrás y hacia adelante indefinidamente, una realización cuántica del sistema clásico, y el paquete de ondas es siempre uno de mínima incertidumbre. Recordemos que esto no sucede para una partícula libre en una línea, en ese caso, un paquete inicial de onda de incertidumbre mínima se extiende porque los diferentes componentes de impulso se mueven a diferentes velocidades. Pero para el oscilador, el potencial de alguna manera mantiene unido el paquete de ondas, un paquete de onda de incertidumbre mínima en todo momento. Estos notables estados cuasi-clásicos se llaman estados coherentes, y fueron descubiertos por el propio Schrödinger. Son importantes en muchos contextos casi clásicos, incluida la radiación láser.

Nuestra tarea aquí es construir y analizar estos estados coherentes y encontrar cómo se relacionan con los autoestados energéticos habituales del oscilador.

Mecánica Clásica del Oscilador Armónico Simple

Para definir la notación, recapitulemos brevemente la dinámica del oscilador clásico: la energía constante es $$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2 \label{3.6.1}$$

o $$p^2+(m\omega x)^2=2mE,\;\; \omega =\sqrt{k/m}. \label{3.6.2}$$

El movimiento clásico se describe de manera más simple en el espacio de fases, una gráfica bidimensional en las variables$(m\omega x,p)$. En este espacio, el punto$(m\omega x,p)$ correspondiente a la posición e impulso del oscilador en un instante de tiempo se mueve a medida que el tiempo avanza a velocidad angular constante\ omega en sentido horario alrededor del círculo de radio$\sqrt{2mE}$ centrado en el origen.

(Nota: el espacio de fase generalmente se define en términos de las variables$(x,p)$, pero al describir el oscilador armónico simple, las variables$(m\omega x,p)$ son más convenientes, tienen las mismas dimensiones).

Este movimiento se describe elegantemente considerando el espacio de fase bidimensional como un plano complejo, y definiendo la variable compleja adimensional $$z=\frac{m\omega x+ip}{\sqrt{2\hbar m\omega}}.\label{3.6.3}$$

La evolución temporal en el espacio de fase es simplemente $$z(t)=z_0e^{-i\omega t}. \label{3.6.4}$$

La elección particular de (¡cuántico!) factor de escala en la definición de$z$ cantidades para definir la unidad de energía como$\hbar\omega$, la unidad cuántica natural para el oscilador: es fácil verificar que si la energía clásica$E=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ entonces la adimensional$|z|^2$ es simplemente el número$n+\frac{1}{2}$ (que por supuesto es muy grande, así que el $\frac{1}{2}$es insignificante).

Paquete de ondas de incertidumbre mínima

Se estableció en la conferencia sobre el Principio de Incertidumbre Generalizada que cualquier función de onda unidimensional de incertidumbre mínima (so$\Delta ​p\cdot\Delta ​ x=\hbar/2$) para una partícula debe satisfacer la ecuación diferencial lineal (aquí$\hat{p}=-i\hbar d/dx$)

$$(\hat{p}-\langle p\rangle)\psi(x)=\lambda(\hat{x}-\langle x\rangle)\psi(x) \label{3.6.5}$$

donde$\langle x\rangle$,$\langle p\rangle$,$\lambda$ son constantes, y$\lambda$ es puro imaginario. La ecuación es fácil de resolver: cualquier función de onda mínima, sin duda, unidimensional es un paquete de ondas gaussianas, que tiene un valor de expectativa de impulso$\langle p\rangle$, centrado en$\langle x\rangle$ y que tiene ancho$(\Delta x)^2=-\hbar/2i\lambda$. ($\Delta x$se define para un estado$|\psi\rangle$ por$(\Delta x)^2=\langle \psi|(x-\langle x\rangle)^2|\psi\rangle$.)

Es decir, la solución mínima de incertidumbre es:

$$\psi(x)=Ce^{i\langle p\rangle x/\hbar} e^{i\lambda(x-\langle x\rangle)^2/2\hbar}=Ce^{i\langle p\rangle x/\hbar} e^{-(x-\langle x\rangle)^2/4(\Delta x)^2} \label{3.6.6}$$

con$C$ la constante de normalización.

De hecho, el estado básico del oscilador armónico simple$\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e-m\omega x^2/2\hbar$ es un estado de incertidumbre tan mínimo, con

$$\lambda=im\omega ,\;\; \langle x\rangle=\langle p\rangle=0 ;\;\; (\Delta x)^2=\frac{\hbar}{2m\omega} ,\;\; (\Delta p)^2=\frac{\hbar m\omega}{2},\;\; \Delta p\cdot\Delta x=\frac{\hbar}{2}. \label{3.6.7}$$

Además, es fácil ver que el estado fundamental desplazado$\psi_0(x-x_0)=Ce^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar}$, con$\langle x\rangle=x_0$, y escribiendo la constante de normalización$(m\omega /\pi\hbar)^{1/4}=C$, también debe ser un estado de incertidumbre mínima, con el mismo\(\ lambda=im\ omega\). (Satisface la ecuación diferencial necesaria.) Por supuesto, a diferencia del estado base, este estado desplazado ya no es un autoestado del hamiltoniano, y por lo tanto cambiará con el tiempo.

(Ambos estados,$\langle x\rangle=x_0$ y$\langle x\rangle=0$, tienen la misma dispersión en el espacio x$(\Delta x)^2=\hbar/2m\omega$, y la misma dispersión en el espacio p, siendo la única diferencia en la dirección p un factor de fase$e^{ip\langle x_0\rangle/\hbar}$ para el estado desplazado).

¿Y los propios estados superiores del oscilador hamiltoniano? No son estados mínimamente inciertos —para el$n^{th}$ estado,$\Delta p\cdot\Delta x=n\hbar/2$, como se comprueba fácilmente usando$\frac{1}{2}(\Delta p)^2/2m=\frac{1}{2}k(\Delta x)^2\sim\frac{1}{2}n\hbar\omega$. Entonces, si construimos un estado energético superior mínimamente incierto, no será un autoestado del hamiltoniano.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Ejercicio: probar$\Delta p\cdot\Delta x=n\hbar/2$ para el eigenstate$n^{th}$ energético. (Pista: usar operadores de creación y aniquilación.)

Los estados propios del Operador de Aniquilación son Estados de Incertidumbre Mínima

Notación: Escribiremos

$$\langle x(t=0)\rangle=x_0,\;\; \langle p(t=0)\rangle=p_0. \label{3.6.8}$$

Aquí restringimos nuestra atención a esos estados de incertidumbre mínima que tienen el mismo ancho espacial que el estado fundamental del oscilador; estos son lo que necesitamos, y estos son los que mostraremos como estados propios del operador de aniquilación. (En realidad, los estados de incertidumbre mínima más generales, conocidos como estados exprimidos, también son interesantes e importantes, pero aquí no los consideraremos).

Supongamos que en$t=0$ la onda del oscilador la función es el estado mínimo de incertidumbre $$\psi(x,t=0)=Ce^{ip_0x/\hbar} ei^{\lambda(x-x_0)^2/2\hbar}=Ce^{ip_0x/\hbar} e^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar} \label{3.6.9}$$

centrado en$(p_0, m\omega x_0)$ en el espacio de fase (como se definió anteriormente para el oscilador clásico), y con$\lambda=im\omega$ darle la misma extensión espacial que el estado fundamental.

De la sección anterior, esto$\psi(x,0)$ satisface la ecuación de incertidumbre mínima $$(\hat{p}-p_0)\psi(x,0)=im\omega (\hat{x}-x_0)\psi(x,0). \label{3.6.10}$$

Reorganizar esta ecuación (y multiplicar por$-i$) la muestra en una luz diferente: $$(m\omega \hat{x}+i\hat{p})\psi(x,0)=(m\omega x_0+ip_0)\psi(x,0). \label{3.6.11}$$

¡Esta es una ecuación de valor propio! El paquete de onda$\psi(x,0)$ es un estado propio del operador$(m\omega \hat{x}+i\hat{p})$ con valor propio$(m\omega x_0+ip_0)$. No es, por supuesto, un autoestado de cualquiera$\hat{p}$ o$\hat{x}$ tomado individualmente.

Además, el operador$(m\omega \hat{x}+i\hat{p})$ es solo una constante veces el operador de aniquilación$\hat{a}$ - recordar $$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega \hat{x}+i\hat{p}). \label{3.6.12}$$

Por lo tanto, este paquete de onda inicial mínimamente incierto$\psi(x,0)$ es un estado propio del operador de aniquilación$\hat{a}$, con valor propio$(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}$. (Por cierto, está bien que$\hat{a}$ tenga valores propios complejos, porque no$\hat{a}$ es un operador hermitiano).

Ahora podemos hacer la conexión con la representación plana compleja del operador clásico: ¡el valor propio$(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}$ es precisamente el parámetro que$z_0$ etiqueta la posición del operador clásico en el espacio de fase en unidades naturales adimensionales!

Es decir, un paquete de onda oscilador de incertidumbre mínima $$\psi(x,t=0)=Ce^{ip_0x/\hbar} e^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar} \label{3.6.13}$$

centrado$(m\omega x_0,p_0)$ en el espacio de fase y que tiene la misma extensión espacial que el estado fundamental, es un estado propio del operador de aniquilación $$\hat{a}\psi(x,t=0)=z_0\psi(x,t=0). \label{3.6.14}$$

con valor propio la posición de su centro en el espacio de fase, es decir, $$z_0=\frac{m\omega x_0+ip_0}{\sqrt{2\hbar m\omega}}. \label{3.6.15}$$

Tiempo de Desarrollo del Paquete de Onda Mínima

Pasando ahora al tiempo de desarrollo del estado, es conveniente usar la notación ket $$|\psi(x,t=0)\rangle=|x_0,p_0\rangle \label{3.6.16}$$

con$|x,p\rangle$ denotar un paquete mínimo de ondas inciertas (con el mismo ancho espacial que el estado fundamental) que tiene esos valores de expectativa de posición e impulso.

El tiempo de desarrollo del ket, como es habitual, viene dado por $$|\psi(x,t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle. \label{3.6.17}$$

Demostraremos que$|\psi(x,t)\rangle$ sigue siendo un autoestado del operador de aniquilación para todos los tiempos$t$: ¡por lo tanto sigue siendo un paquete de onda de incertidumbre mínima! (Y, por supuesto, con extensión espacial constante.)

El punto clave para establecer esto es que el propio operador de aniquilación tiene un simple desarrollo temporal en la representación de Heisenberg, $$\hat{a}(t)=e^{iHt/\hbar}\hat{a}e^{-iHt/\hbar}=\hat{a}e^{-i\omega t}. \label{3.6.18}$$

Para probarlo, considere los elementos matriciales de$\hat{a}(t)$ entre dos autoestados cualesquiera$|n\rangle$ del Hamiltoniano $$H|n\rangle=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega |n\rangle \label{3.6.19}$$

entonces $$\langle m|\hat{a}(t)|n\rangle = e^{i(m+\frac{1}{2})\hbar\omega t/\hbar} \langle m|\hat{a}|n\rangle e^{-i(n+\frac{1}{2})\hbar\omega t/\hbar} =\langle n-1|\hat{a}|n\rangle e^{-i\omega t}. \label{3.6.20}$$

Dado que los únicos elementos de matriz distintos de cero del operador de aniquilación$\langle m|\hat{a}|n\rangle$ son para$m=n-1$, y los estados propios de energía forman un conjunto completo, esta simple dependencia del tiempo es verdadera como una ecuación de operador $$\hat{a}(t)=e^{iHt/\hbar}\hat{a}e^{-iHt/\hbar}=\hat{a}e^{-i\omega t}. \label{3.6.21}$$

Ahora es fácil demostrar que $$|\psi(x,t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle \label{3.6.22}$$

es siempre un estado propio de$\hat{a}$: $$\begin{matrix} \hat{a}|\psi(x,t)\rangle=\hat{a}e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle\\ =e^{-iHt/\hbar}(e^{iHt/\hbar}\hat{a}e^{-iHt/\hbar})|x_0,p_0\rangle\\ =e^{-iHt/\hbar} e^{-i\omega t}\hat{a}|x_0,p_0\rangle\\ =e^{-iHt/\hbar} e^{-i\omega t}(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}|x_0,p_0\rangle\\ =(e^{-i\omega t}(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}) |\psi(x,t)\rangle. \end{matrix} \label{3.6.23}$$

Por lo tanto, el operador de aniquilación, que al$t=0$ tenía el valor propio $$z_0=(m\omega x_0+ip_0)/\sqrt{2\hbar m\omega}, \label{3.6.24}$$

correspondiente a un paquete de onda mínima centrado$(m\omega x_0,p_0)$ en el espacio de fase, evoluciona en el tiempo$t$ a otro paquete mínimo (porque todavía es un estado propio del operador de aniquilación), y escribiendo $$|\langle x(t)\rangle,\langle p(t)\rangle\rangle=e^{-iHt/\hbar}|x_0,p_0\rangle, \label{3.6.25}$$

el nuevo valor propio de$\hat{a}$ $$z(t)=\frac{(m\omega \langle x(t)\rangle+i\langle p(t)\rangle)}{\sqrt{2\hbar m\omega}}=\frac{(m\omega x_0+ip_0)}{\sqrt{2\hbar m\omega}}e^{-i\omega t}=z(0)e^{-i\omega t}. \label{3.6.26}$$

Por lo tanto, el centro del paquete de ondas en el espacio de fase sigue la trayectoria clásica en el tiempo. Esto se hace explícito al equiparar partes reales e imaginarias: $$\langle x(t)\rangle=x_0\cos\omega t+(p_0/m\omega )\sin\omega t,\langle p(t)\rangle=p_0\cos\omega t-m\omega x_0\sin\omega t. \label{3.6.27}$$

Así que hemos encontrado la “mejor” descripción cuántica posible de Schrödinger de un oscilador clásico.

Una observación sobre la notación

Hemos optado por trabajar con las variables de posición e impulso originales, y el parámetro complejo expresado en función de esas variables, a lo largo de todo. Podríamos haber utilizado las variables adimensionales introducidas en la conferencia sobre el oscilador armónico simple, $$\xi=x/b=x\sqrt{m\omega /\hbar},\;\; \pi=bp/\hbar=p/\sqrt{\hbar m\omega},\;\; \hat{a}=(\hat{\xi}+i\hat{\pi})/\sqrt{2}. \label{3.6.28}$$

Esto por supuesto también daría$z=(\xi+i\pi)/\sqrt{2}$, una representación más compacta, pero una cosa más para recordar.

También es común denotar los autoestados de$\hat{a}$ by$\alpha$,, muy elegantes$\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$, pero hemos utilizado$z$ para seguir recordándonos que este valor propio, a diferencia de la mayoría de los que se encuentran en la mecánica cuántica, es un número complejo. Finalmente, algunos utilizan las variables adimensionales$X=\sqrt{2\hbar/m\omega}x$,$P=\sqrt{1/(2m\omega \hbar)}p$, que difieren$\xi,\;\pi$ por un factor de$\sqrt{2}$. La ecuación de valor propio para el operador de aniquilación es muy ordenada en esta notación:$\hat{a}|z\rangle=(X+iP)|z\rangle$. Sin embargo, lo hemos evitado porque nuestro libro de texto recomendado, Shankar, utiliza$X,P$ para los operadores ordinarios de posición e impulso.

El Operador de Traducción

Vale la pena repetir el ejercicio para el caso sencillo del oscilador inicialmente en reposo a una$x_0$ distancia del centro. Esto da un empate limpio con el operador de traducción (definido a continuación).

Tomemos entonces el estado inicial para ser $$\psi(x,0)=Ce^{-m\omega (x-x_0)^2/2\hbar}=\psi_0(x-x_0) \label{3.6.29}$$

¿dónde$\psi_0(x)$ está la función de onda del estado fundamental? Así que hemos movido el paquete a la derecha por$x_0$.

Ahora haz una expansión de la serie Taylor (¡tomando$x_0$ para ser la variable!) : $$\psi_0(x-x_0)=\psi_0(x)-x_0\frac{d}{dx}\psi_0(x)+\frac{x_0^2}{2!}\frac{d^2}{dx^2}\psi_0(x)-\dots=e^{-x_0\frac{d}{dx}}\psi_0(x). \label{3.6.30}$$

De esto queda claro que el operador de traslación$e^{-x_0\frac{d}{dx}}$ desplaza la función de onda una distancia$x_0$ hacia la derecha.

Ya que$\hat{p}=-i\hbar d/dx$, el operador de traducción también se puede escribir como$e^{-ix_0\hat{p}/\hbar}$, y a partir de esto se puede expresar en términos de$\hat{a}$$\hat{a}^{\dagger}$, ya que $$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega \hat{x}+i\hat{p}),\;\; \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(m\omega \hat{x}-i\hat{p}), \label{3.6.31}$$

($\hat{p}$,$\hat{x}$ siendo hermitiano) así $$\hat{p}=i\sqrt{\hbar m\omega}{2}(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}). \label{3.6.32}$$

Por lo tanto, se puede escribir la función de onda desplazada del estado fundamental $$\psi_0(x-x_0)=e^{-ix_0\hat{p}/\hbar}\psi_0(x)=e^{x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}\psi_0(x)=e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}\psi_0(x) \label{3.6.33}$$

de verdad$z_0=x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}$, ya que$p_0$ es cero para este estado inicial (la función de onda es real).

En la notación ket, hemos establecido que el estado de incertidumbre mínima centrado en$x_0$, y que tiene valor de expectativa cero para el impulso, es $$|x_0,0\rangle=e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}|0,0\rangle. \label{3.6.34}$$

¡Pero no es exactamente obvio que este es un estado propio de$\hat{a}$ con valor propio$z_0$! (Como debe ser.)

Vale la pena ver cómo probarlo solo a partir de las propiedades de los operadores —pero para ello, necesitamos un par de teoremas referentes a exponenciales de operadores dados en el Apéndice.

Primero, si el conmutador$[A,B]$ conmuta con$A$ y$B$, luego$e^{A+B}=e^Ae^Be-\frac{1}{2}[A,B]$. Este resultado simplifica el lado derecho de la ecuación anterior, para $$\begin{matrix} e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}|0,0\rangle=e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}e^{-z_0\hat{a}}e^{-z_0^2[\hat{a}^{\dagger},\hat{a}]/2}|0,0\rangle\\ =e^{-z_0^2/2}e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}|0,0\rangle \end{matrix} \label{3.6.35}$$

donde hemos usado$e^{-z_0\hat{a}}|0,0\rangle=|0,0\rangle$.

Esto es más sencillo, pero todavía no es obvio que tenemos un estado propio de$\hat{a}$: necesitamos el conmutador $$[\hat{a},e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}]. \label{3.6.36}$$

El segundo teorema que necesitamos es: si el$[A,B]=c$ propio conmutador de dos operadores

conmuta con$A$ y$B$, luego $$[A,e^{\lambda B}]=\lambda ce^{\lambda B}. \label{3.6.37}$$

(Esto se demuestra fácilmente expandiendo lo exponencial — ver el Apéndice.)

Aplicando esto a nuestro caso, $$[\hat{a},e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}]=z_0e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}. \label{3.6.38}$$

De ello se deduce inmediatamente que efectivamente$e^{-z_0^2/2}e^{z_0\hat{a}^{\dagger}}|0,0\rangle$ es un estado propio de$\hat{a}$ con valor propio$z_0=x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}$. (También debe normalizarse correctamente porque la traducción$|x_0,0\rangle=e^{z_0(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})}|0,0\rangle$ es una operación unitaria de verdad)$z_0$.

¿Cómo generalizamos este operador de traducción a un estado arbitrario, con distinto de cero$\langle x\rangle$,$\langle p\rangle$? Pensando en términos del espacio de parámetros complejos$z$, necesitamos poder movernos tanto en la$x$ dirección como en las$p$ direcciones, usando ambas$\hat{p}=-i\hbar d/dx$ y$\hat{x}=i\hbar d/dp$. Esto es un poco complicado ya que estos operadores no conmutan, sino que su conmutador es solo un número, por lo que (usando el teorema probado en el Apéndice) esto solo afectará la normalización general.

Además, ambos$\hat{p}$ y$\hat{x}$ son combinaciones de$\hat{a}$$\hat{a}^{\dagger}$, así que para que la generalización$e^{-i\langle x_0\rangle\hat{p}/\hbar}$ de lo real$x_0$$z$ a lo complejo sea unitario, debe tener una combinación antihermitiana de$\hat{a}$,$\hat{a}^{\dagger}$ en el exponente — una unitaria operador tiene la forma$U=e^{iH}$, donde$H$ es hermitiano, así$iH$ es antihermitiano.

Nos llevan a la conclusión de que $$|\langle p\rangle,\langle x\rangle\rangle=e^{(z\hat{a}^{\dagger}-z^*\hat{a})}|0\rangle=|z\rangle, \label{3.6.39}$$

etiquetar convenientemente el estado coherente usando el parámetro complejo$z$ de su centro en el espacio de fase. Dado que este operador de traducción generalizada es unitario, el nuevo estado se normaliza automáticamente correctamente.

¿Cómo se relacionan estos Estados con los autoestados energéticos?

La ecuación anterior sugiere la posibilidad de representar el estado desplazado$|z\rangle$ en la base energética estándar$|n\rangle$. Podemos simplificar con el mismo truco utilizado para el caso de desplazamiento espacial en la última sección, es decir, el teorema$e^{A+B}=e^Ae^Be-\frac{1}{2}[A,B]$ donde ahora$A=z\hat{a}^{\dagger}$,$B=-z^*\hat{a}$: $$|z\rangle=e^{z\hat{a}^{\dagger}-z^*\hat{a}}|0\rangle=e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}e^{-z^*\hat{a}}|0\rangle=e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle \label{3.6.40}$$

usando$e^{-z^*\hat{a}}|0\rangle=|0\rangle$ desde$\hat{a}|0\rangle=0$.

Ahora es sencillo expandir lo exponencial: $$|z\rangle =e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle=e^{-|z|^2/2}(1+za^{\dagger}+(za^{\dagger})^22!+…)|0\rangle \label{3.6.41}$$

y recordando que los autoestados de energía normalizados son $$|n\rangle =\frac{(a^{\dagger})^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle \label{3.6.42}$$

encontramos $$|z\rangle=e^{-|z|^2/2}(|0\rangle+z|1\rangle+\frac{z^2}{\sqrt{2!}}|2\rangle+\frac{z^3}{\sqrt{3!}}|3\rangle+…). \label{3.6.43}$$

Ejercicio: Comprobar que este estado esté normalizado correctamente, y sea un autoestado de$\hat{a}$.

Desarrollo temporal de un estado propio de un uso de la base energética

Ahora que hemos expresado el autoestado$|z\rangle$ como una suma sobre los autoestados$|n\rangle$ del hamiltoniano, encontrar su desarrollo temporal en esta representación es sencillo.

Dado que$|n(t)\rangle=e^{-in\omega t}|n\rangle$,

$$|z(t)\rangle=e^{-|z_0|^2/2}(|0\rangle+z_0e^{-i\omega t}|1\rangle+\frac{z_0^2e^{-2i\omega t}}{\sqrt{2!}}|2\rangle+\sqrt{z_03e^{-3i\omega t}}{\sqrt{3!}}|3\rangle+\dots) \label{3.6.44}$$

que se puede escribir $$|z(t)\rangle=e^{-|z_0|^2/2}e^{z_0e^{-i \omega  t}\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle, \label{3.6.45}$$

equivalente al resultado$z(t)=z_0e^{-i\omega t}$ derivado anteriormente.

Algunas Propiedades del Conjunto de Autoestados de$\hat{a}$

En mecánica cuántica, cualquier variable física es representada por un operador hermitiano. Los valores propios son reales, los autoestados son ortogonales (o pueden elegirse para ser así para estados degenerados) y los autoestados para un conjunto completo, abarcando el espacio, por lo que cualquier vector en el espacio se puede representar de manera única como una suma sobre estos estados.

El operador no$\hat{a}$ es hermitiano. Sus valores propios son todos los números en el plano complejo. Los autoestados que pertenecen a diferentes valores propios nunca son ortogonales, como es inmediatamente obvio al considerar el estado fundamental y un estado fundamental desplazado. Por supuesto, la superposición disminuye rápidamente para estados lejanos en el espacio de fase.

La superposición de estado se puede calcular usando$|z\rangle =e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle$:

$$\langle w|z\rangle=\langle 0|e^{w^*\hat{a}}e^{-|w|^2/2}e^{-|z|^2/2}e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0\rangle \label{3.6.46}$$

y luego podemos cambiar los operadores$e^{-w^*\hat{a}}$,$e^{z\hat{a}^{\dagger}}$ usando el teorema del Apéndice$e^Be^A=e^Ae^Be-[A,B]$, entonces ya que$\langle 0|\hat{a}^{\dagger}=\hat{a}|0\rangle=0$, nos quedamos con

$$\langle w|z\rangle=\langle 0|e^{w^*z}e^{-|w|^2/2}e^{-|z|^2/2}|0\rangle,\label{3.6.47}$$

de la cual

$$|\langle w|z\rangle|^2=e^{-|w-z|^2}. \label{3.6.48}$$

Finalmente, usando$|z\rangle=e^{-|z|^2/2}(|0\rangle+z|1\rangle+\frac{z^2}{\sqrt{2!}}|2\rangle+\frac{z^3}{\sqrt{3!}}|3\rangle+\dots)$, podemos construir un operador de unidad usando el$|z\rangle$,

$$I=\iint \frac{dxdy}{\pi}|z\rangle\langle z| \label{3.6.49}$$

donde la integral está sobre todo el plano complejo$z=x+iy$ (esta no$x$ es, por supuesto, la posición original$x$, recuerdo para la función de onda que acaba de desplazarse a lo largo del eje$z_0=x_0\sqrt{m\omega /2\hbar}$). Por lo tanto, el$|z\rangle$ lapso de todo el espacio.

Colaborador

• Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)