8.6: Cortes de Alta y Baja Frecuencia

Más sobre Péndulos Acoplados

8-6
En la sección anterior, vimos cómo el número de onda angular,\(k\), puede llegar a ser complejo en un sistema con fricción. Hay otra manera importante en la que\(k\) puede llegar a ser complejo. Consideremos la relación de dispersión para el sistema de péndulos acoplados, (5.35), que podemos reescribir de la siguiente manera:\[\omega^{2}=\omega_{\ell}^{2}+\omega_{c}^{2} \sin ^{2} \frac{k a}{2} .\]

Aquí\(a\) está la distancia entre bloques,\(\omega_{\ell}\) es la frecuencia de un solo péndulo desacoplado, y\(\omega_{c}^{2}\) es una frecuencia asociada con el acoplamiento entre bloques vecinos. \[\omega_{c}^{2}=\frac{4 K}{m}\]

donde\(m\) es la masa de un bloque y\(K\) es la constante de resorte de los resortes de acoplamiento.

Ondas viajeras en un sistema con una relación de dispersión como (8.92) son animadas en el programa 8-6. Para que la física sea más fácil de ver, este sistema es una cuerda con cuentas con oscilaciones transversales. Sin embargo, para producir el\(\omega_{\ell}^{2}\) término en (8.92), también hemos unido cada perla por un resorte a una posición de equilibrio a lo largo de la línea punteada. En este caso, el acoplamiento entre cuentas proviene de la cuerda, por lo que el análogo de (8.93) es\[\omega_{c}^{2}=\frac{4 T}{m a} .\]

Los parámetros en el sistema se eligen de manera que en términos de una frecuencia de referencia\(\omega_{0}\),\[\omega_{\ell}^{2}=25 \omega_{0}^{2}, \quad \omega_{c}^{2}=24 \omega_{0}^{2}\]

Las propiedades de las olas en este sistema difieren drásticamente en función de\(\omega\). Una forma de ver esto es ir hacia atrás y señalar que de verdad\(k\), porque\(\sin ^{2} \frac{k a}{2}\) debe estar entre 0 y 1,\(\omega\) está restringido,\[\omega_{\ell} \leq \omega \leq \sqrt{\omega_{\ell}^{2}+\omega_{c}^{2}} \equiv \omega_{h}\]

Porque\(k\) en esta región “permitida”,\[\sin ^{2} \frac{k a}{2}=\frac{\omega^{2}-\omega_{\ell}^{2}}{\omega_{c}^{2}}\]

está entre 0 y 1, como está\[\cos ^{2} \frac{k a}{2}=\frac{\omega_{h}^{2}-\omega^{2}}{\omega_{c}^{2}} .\]

Las dos frecuencias,\(\omega_{\ell}\) y\(\omega_{h}\), se denominan cortes de baja y alta frecuencia. El sistema de péndulos acoplados soporta ondas viajeras solo para frecuencia\(\omega\) entre los cortes de alta y baja frecuencia. Es sólo en esta región que la relación de dispersión puede satisfacerse de manera real\(\omega\) y\(k\). Para\(\omega<\omega_{\ell}\) o | (\ omega >\ omega_ {h}\), el sistema oscila, pero no hay nada como una ola viajera. Esto se puede ver en el programa 8-6 cambiando la frecuencia hacia arriba y hacia abajo con las teclas de flecha.

Para cualquiera\(\omega\), siempre podemos resolver la relación de dispersión. No obstante, en algunas regiones de frecuencia, el resultado será complejo, como en (8.85). Esperamos\(k_{i} = 0\) en la región permitida (8.96). La solución de (8.92) para\(k_{r}\) y\(k_{i}\) como funciones de se\(\omega\) muestran en las gráficas de la Figura\( 8.12\). Aquí,\(k_{r}\) y\(k_{i}\) se trazan contra\(\omega\) para la relación de dispersión, (8.92), con\(\omega_{\ell}=5 \omega_{0}\) y\(\omega_{h}=7 \omega_{0} . k_{i}\). \(k_{i}\)es la línea punteada. Tenga en cuenta la dependencia muy rápida de ki cerca de los cortes de alta y baja frecuencia.

Figura\( 8.12\):\(k_{r}a\) y\(k_{i}a\) versus\(\omega\).

A\(\omega\) medida que disminuye, en la región permitida, (8.96),\(\sin \frac{k a}{2}\) disminuye. En el corte de baja frecuencia,\(\omega=\omega_{\ell}\),\(\sin \frac{k a}{2}\) y por lo tanto\(k\) va a cero. Esto significa que a medida que disminuye la frecuencia, la longitud de onda de las ondas viajeras se alarga cada vez más, hasta que a la frecuencia de corte, se vuelve infinita. En el corte de baja frecuencia, cada péndulo en la cadena infinita oscila en fase. Los resortes que los acoplan son entonces irrelevantes porque siempre mantienen sus longitudes de equilibrio. Esto es posible precisamente porque\(\omega_{\ell}\) es la frecuencia de oscilación del péndulo desacoplado, de manera que no se requiere ningún acoplamiento para que un péndulo individual oscile a la frecuencia\(\omega_{\ell}\).

Si\(\omega\) está por debajo del corte de baja frecuencia\(\omega_{\ell}\),,\(\sin \frac{k a}{2}\) debe volverse negativo para satisfacer la relación de dispersión, (8.92). Por lo tanto,\(\sin \frac{k a}{2}\) debe ser un número imaginario puro\[k-\pm i k_{i} .\]

La solución general para la ola es entonces\[\psi(x, t)=A e^{-k_{i} x} e^{-i \omega t}+B e^{k_{i} x} e^{-i \omega t}\]

En un sistema finito de péndulos acoplados, ambos términos pueden estar presentes. En un sistema semi-infinito que se impulsa\(x = 0\) y se extiende hacia\(x \rightarrow \infty\), la constante\(B\) debe desaparecer para evitar el crecimiento exponencial de la ola en el infinito. Así la ola cae exponencialmente en general\(x\). Además, la solución es un producto de una función real de\(x\) y una función exponencial compleja de\(t\). Se trata de una onda estacionaria. No hay ola viajera. Esto se puede ver en el programa 8-6 a bajas frecuencias.

La física de esta oscilación por debajo del corte de baja frecuencia es particularmente clara en el límite extremo,\(\omega \rightarrow 0\). A frecuencia cero, no hay movimiento. El análogo de un problema de oscilación forzada es simplemente desplazar un péndulo del equilibrio y mirar para ver qué sucede con el resto. Claramente, lo que sucede es que el desplazamiento del primer péndulo provoca una fuerza sobre el siguiente debido al resorte de acoplamiento que lo aleja del equilibrio, pero no tan lejos como el primero. Su desplazamiento es menor que el del primero por algún factor\(\epsilon=e^{-k_{i} a}\). Entonces el segundo péndulo tira del tercero, pero nuevamente el desplazamiento es menor por el mismo factor. ¡Y así sucesivamente! En un sistema infinito, esto da lugar a la caída exponencial de desplazamiento en (8.100) para\(B = 0\). A medida que aumenta la frecuencia, el efecto de inercia (más precisamente, el\(ma\) término en\(F = ma\)) aumenta el desplazamiento del segundo (y cada subsiguiente) bloque, hasta por encima del corte de baja frecuencia, el efecto de inercia es lo suficientemente grande como para competir en igualdad de condiciones con el efecto de la restauración fuerza, y se puede producir una onda viajera real.

El corte de baja frecuencia no es peculiar del sistema discreto. Ocurre cada vez que hay una fuerza restauradora para\(k = 0\) en el sistema infinito. Posteriormente, en el capítulo 11, veremos que un fenómeno similar puede ocurrir en sistemas bidimensionales y tridimensionales incluso cuando no hay fuerza restauradora en\(k = 0\).

El corte de alta frecuencia, por otro lado, depende de la separación finita entre bloques. A\(\omega\) medida que aumenta, en la región permitida, (8.96),\(\sin \frac{k a}{2}\) aumenta,\(k\) aumenta, y por lo tanto\(\cos \frac{k a}{2}\) disminuye. En el corte de alta frecuencia,\(\omega=\omega_{h}), \(\sin \frac{k a}{2}=1\) y\(\cos \frac{k a}{2}= 0\). Pero\[\sin \frac{k a}{2}=1 \Rightarrow k=\frac{\pi}{a} \]

lo que, a su vez, significa\[e^{i k a}=e^{-i k a}=-1 .\]

Así el desplazamiento de los bloques simplemente se alterna, porque\[\psi_{j}=\psi(j a, t) \propto e^{i j \pi}=(-1)^{j} .\]

Esto es tan ondulado como puede conseguir el sistema discreto. En un sistema discreto con separación entre bloques, a, la parte real máxima posible de\(k\) es\(\frac{\pi}{a}\) (porque\(k\) puede ser redefinida por un múltiplo de\(\frac{2 \pi}{a}\) sin cambiar los desplazamientos de ninguno de los bloques — ver (5.28)). Este límite es el origen del corte de alta frecuencia.

Esto se puede ver en el programa 8-6. La frecuencia comienza a las\(6 \omega_{0}\). En este punto,\(k_{r}a\) es bastante pequeño (y\(k_{i} = 0\)) y la ola se ve suave. A medida que la frecuencia se incrementa hacia\(\omega_{h}\), la onda se vuelve cada vez más dentado mirando, hasta que\(\omega = \omega_{h}\), las cuentas vecinas se mueven en direcciones opuestas.

Para\(\omega > \omega_{h}\),\(\sin \frac{k a}{2}\) es mayor que 1, y\(\cos \frac{k a}{2}\) es negativo. Esto implica que\(k\) tiene la forma\[k=\frac{\pi}{a} \pm i k_{i} .\]

Entonces la solución general para el desplazamiento es\[\psi(x, t)=A e^{-k_{i} x} e^{i \pi x / a} e^{-i \omega t}+B e^{k_{i} x} e^{i \pi x / a} e^{-i \omega t} .\]

Al igual que en (8.100), hay un término que cae exponencialmente y uno que crece exponencialmente. Aquí sin embargo, también hay un factor de fase\(e^{i \pi x / a}\),, que parece como si pudiera conducir a una ola viajera. Pero, de hecho, esta no es realmente una fase. Simplemente produce la alternancia del desplazamiento de un bloque al siguiente. Esto lo vemos si nos fijamos únicamente en los desplazamientos de los bloques (como en (8.103),\[\psi_{j}=\psi(j a, t)=A(-1)^{j} e^{-k_{i} x} e^{-i \omega t}+B(-1)^{j} e^{k_{i} x} e^{-i \omega t} .\]

En cuanto a (8.100), en un sistema semi-infinito que se extiende hasta\(x \rightarrow \infty\), debemos tener\(B = 0\), y no hay onda viajera.

Una de las cosas llamativas del programa 8-6 es el cambio muy rápido de una solución de onda viajera en la región permitida a una solución de onda estacionaria con una rápida disminución exponencial de la amplitud en las regiones de frecuencias altas y bajas. Esto se ve también en Figura\( 8.12\) en el rápido cambio de\(k_{i}\) cerca de los cortes. La razón de esto es que\(k\) tiene una dependencia de raíz cuadrada de la frecuencia cerca de los cortes.

En el sistema infinito, la solución fuera de la región permitida es una onda estacionaria pura. A falta de amortiguación, el trabajo realizado por la fuerza que produce la ola promedia a cero en el tiempo. En un sistema finito, sin embargo, es posible transferir energía de un extremo de un sistema al otro, incluso si se encuentra por debajo del corte de baja frecuencia o por encima del corte de alta frecuencia. La razón es que en un sistema finito, tanto los\(A\)\(B\) términos como en (8.100) (o (8.106)) pueden ser distintos de cero. Si\(A\) y\(B\) son ambos reales (o relativamente reales —es decir, si tienen la misma fase), entonces no hay transferencia de energía. La solución es el producto de una función real de\(x\) (o\(j\)) y una función exponencial oscilante de\(t\). Así se ve como una onda estacionaria. Sin embargo si\(A\) y\(B\) tienen diferentes fases, entonces la oscilación parece algo así como una onda viajera y la energía puede ser transferida. Este proceso se vuelve exponencialmente menos eficiente a medida que aumenta la longitud del sistema. Esto lo discutiremos con más detalle en el capítulo 11.