10.5: Es\(c\) the Speed of Light?

Hemos visto que una onda electromagnética en la\(z\) dirección que satisface las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre tiene la relación de dispersión (8.47), de manera que la luz, al menos en vacío, viaja a la velocidad de la luz. Pero, ¿tiene razón la teoría? ¿Cómo probamos la relación de dispersión? De hecho, las pruebas más sensibles de las ecuaciones de Maxwell no implican olas viajeras. Vienen de observaciones de campos magnéticos que se extienden a lo largo de distancias astrofísicas (¡como la galaxia!). No obstante, existe una manera interesante, si no muy sensible, de buscar correcciones a (8.47) que implique la velocidad de la luz directamente. Antes de discutir esto, digremos brevemente para hablar con más detalle sobre los fotones, las partículas de luz que describimos brevemente en el capítulo 8.

La luz es un fenómeno de onda, como hemos visto. En efecto, las propiedades de onda de la luz son obvias en nuestra experiencia cotidiana. Es menos obvio por nuestra experiencia cotidiana, pero igualmente cierto, que la luz también consiste en fotones. Esto se vuelve obvio cuando se trabaja con luz a intensidades muy bajas y/o energías muy altas. Que ambas afirmaciones puedan ser verdaderas simultáneamente es uno de los (muchos) milagros de la mecánica cuántica.

La mecánica cuántica nos dice que todas las partículas tienen propiedades de onda. Una partícula con impulso\(p\) y energía\(E\) tiene una frecuencia angular asociada y un número de onda angular relacionados por\[E=\hbar \omega, \quad p=\hbar k ,\]

donde\(\hbar\) está la constante de Planck dividida por\(2 \pi\). Esta combinación aparece tan ubicuamente en la mecánica cuántica que tiene su propio símbolo, y nosotros los físicos casi siempre usamos\(\hbar\) en lugar de\(h\). La razón\(h\) es que se relaciona con la frecuencia\(ν\) más que con la frecuencia angular\(\omega\), y hemos visto que\(\omega\) es la medida más conveniente para la mayoría de los propósitos. Además, la energía y el impulso de la partícula se relacionan de la siguiente manera:\[E^{2}=p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}, \quad v=c \frac{p c}{E}\]

donde\(m\) está la masa de reposo y\(v\) es la velocidad clásica.

Si ponemos (10.105) en (10.106), obtenemos una relación de dispersión para la onda mecánica cuántica asociada a la partícula\[\omega^{2}=c^{2} k^{2}+\omega_{0}^{2}, \quad \omega_{0}=\frac{m c^{2}}{\hbar} .\]

¡La velocidad clásica es la velocidad grupal de la onda mecánica cuántica! \[v=\frac{\partial \omega}{\partial k}=c^{2} \frac{k}{\omega}=c \frac{p c}{E}\]

De hecho, las partículas, en una imagen mecánica cuántica, corresponden a paquetes de ondas que se mueven con la velocidad del grupo.

La relación de dispersión mecánica cuántica, (10.107), concuerda con (8.47) sólo si\(m = 0\). Así podemos reafirmar la pregunta de si (8.47) es correcto preguntando “¿La masa fotónica es realmente cero?”

Parecería que debemos poder probar esta idea observando dos fotones con distintas frecuencias emitidas al mismo tiempo desde un objeto lejano y comprobando si llegan al mismo tiempo. Hay un defecto evidente en este esquema. Si el objeto está tan lejos que no podemos llegar ahí, ¿cómo sabemos que los dos fotones se emitieron al mismo tiempo? De hecho, la astrofísica nos ha proporcionado una forma de sortear esta dificultad. Podemos mirar púlsares. Los púlsares son (presumiblemente) restos de estrellas de neutrones rotativos de explosiones de supernova que emiten luz hacia la tierra a intervalos regulares. Por ejemplo, pulsar 1937+21 es tan regular que se puede determinar el tiempo de salida de los fotones en unos pocos microsegundos (\(\mu \mathrm{s}\)). ⁵ También está a unos 16,000 años luz de distancia, por lo que los fotones con la frecuencia más alta (los más rápidos) tienen suficiente tiempo para salir adelante. Cuando se realiza este experimento, uno encuentra un distinto de cero\(\omega_{0}\), de aproximadamente\(1.7 \times 10^{4} \mathrm{~s}^{-1}\), correspondiente a una masa de aproximadamente\(1.26 \times 10^{-49} \mathrm{~g}\). Eso parece una masa bastante pequeña, pero de hecho, es ridículamente grande para un fotón. A partir de estudios del campo magnético galáctico, sospechamos que es menor que\(4 \times 10^{-65} \mathrm{~g}\)! ⁶ Así está pasando algo más.

El problema con esta medición como prueba de la relación de dispersión es que hay electrones por ahí, electrones libres en el espacio interestelar (\(10^{-1}\)to\(10^{-2} \mathrm{~cm}^{-3}\)). Estos electrones en el espacio se moverán en el\(E\) campo —esto producirá una densidad de corriente que afectará las ecuaciones de Maxwell, y que, a su vez, afectará la relación de dispersión. Analicemos el efecto de este plasma diluido asumiendo que la densidad electrónica es constante. Entonces (al menos para las ondas de radio de longitud de onda larga de interés en estos experimentos) todavía podemos usar la invarianza de traducción para entender lo que está sucediendo. Considere una onda plana en la\(z\) dirección y supongamos que el campo eléctrico de la onda plana está en la\(x\) dirección. Entonces sigue siendo cierto que a un dado\(\omega\)\[E_{x}(\vec{r}, t)=E_{0} e^{i(k z-\omega t)}, \quad B_{y}(\vec{r}, t)=B_{0} e^{i(k z-\omega t)} ,\]

para algunos\(k\). Para encontrarlo\(k\), debemos mirar el efecto de los campos eléctricos en los electrones, y luego volver a las ecuaciones de Maxwell. Los campos son muy pequeños, y para campos pequeños las velocidades de electrones inducidas,\(v\) son pequeñas. Así podemos descuidar\(B\). Entonces la fuerza sobre un electrón en el punto\((\vec{r}, t)\) es\[F_{x}(\vec{r}, t)=e E_{x}(\vec{r}, t)=e E_{0} e^{i(k z-\omega t)}=m a_{x}(\vec{r}, t)\]

El desplazamiento del electrón tiene la misma forma:\[d_{x}(\vec{r}, t)=d_{0} e^{i(k z-\omega t)}\]

lo que implica\[a_{x}(\vec{r}, t)=-\omega^{2} d_{0} e^{i(k z-\omega t)}\]

comparando (10.110) y (10.112) da\[d_{0}=-\frac{e E_{0}}{m \omega^{2}} .\]

Así los electrones son desplazados\(180^{\circ}\) fuera de fase con el campo eléctrico y en la misma dirección. Entonces la velocidad de los electrones es\[v_{x}=\frac{i e E_{0}}{m \omega} e^{i(k z-\omega t)} .\]

El movimiento de los electrones da lugar a una densidad de corriente: ⁷\[\mathcal{J}_{x}=\frac{i e^{2} N E_{0}}{m \omega} e^{i(k z-\omega t)}\]

donde\(N\) está la densidad numérica de electrones.

Poniendo esto en las ecuaciones relevantes de Maxwell, encontramos\[k E_{0}=\omega B_{0}, \quad-k B_{0}=-\omega \mu_{0} \epsilon_{0} E_{0}+\mu_{0} \frac{e^{2} N E_{0}}{m \omega} ,\]

o usando\(c=1 / \sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}\), (8.47),\[B_{0}=\frac{k}{\omega} E_{0}, \quad-\frac{k^{2}}{\omega}=-\frac{\omega}{c^{2}}+\frac{e^{2} N}{c^{2} m \epsilon_{0} \omega} ,\]

o resolver para\(\omega^{2}\)\[\omega^{2}=c^{2} k^{2}+\omega_{0}^{2}, \quad \text { with } \quad \omega_{0}^{2}=\frac{e^{2} N}{\epsilon_{0} m} .\]

La constante\(\omega_{0}\) en (10.118) se llama la “frecuencia plasmática”. Lo asombroso es que se ve justo como una masa de fotones. Porque\(N \approx 10^{-2} \mathrm{~cm}^{-3}\), esto es consistente con la observación desde el púlsar.

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⁵ Véase G. Barbiellini y G. Cocconi, Naturaleza 329 (1987) 21.
⁶ Chibisov, Física soviética - Uspekhi, 19 (1986) 624.
⁷ Observe que el resultado es inversamente proporcional a la masa de electrones. Por eso nos estamos concentrando en electrones más que en protones. ¡Los protones no se mueven tan rápido!