12.5: Radiación

En esta sección, anotamos los campos eléctricos y magnéticos asociados con el cambio de densidades de carga y corriente.

Campos de cargos por mudanza

Debido a que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales, se deben especificar muchas condiciones iniciales o condiciones de límite para determinar las soluciones. Por ejemplo, un campo eléctrico constante en todas partes es una solución a las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre, y por lo tanto puede agregar un campo constante a cualquier solución y seguirá siendo una solución. Tales cosas deben ser determinadas por condiciones físicas iniciales o condiciones límite. Un conjunto de condiciones que frecuentemente es interesante es un análogo de la condición límite en el infinito que discutimos para las ondas unidimensionales. Supongamos que tienes un universo que inicialmente es estacionario, sin corrientes eléctricas, sin campos magnéticos, y solo campos eléctricos debido a cargas estacionarias (que sabes calcular a partir de la Física 15b). En algún momento, comienzas a mover cargas en alguna región finita del espacio. ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos producidos de esta manera? Esta pregunta tiene una respuesta relativamente simple que es una generalización intuitiva agradable de las relaciones que aprendiste en 15b para los potenciales eléctricos y vectoriales a partir de cargas estacionarias y distribuciones de corriente. Estas relaciones fueron\[\phi(\vec{r})=\int d^{3} r^{\prime} \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\]

\[\vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{c} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\]

Las generalizaciones son\[\phi(\vec{r}, t)=\int d^{3} r^{\prime} \frac{\rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\]

\[\vec{A}(\vec{r}, t)=\frac{1}{c} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-|\vec{r}-\vec{r}| / c\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\]

Es un ejercicio sencillo, pero tedioso, en el cálculo vectorial para mostrar que estos satisfacen las ecuaciones de Maxwell. No voy a hablar de esto (voy a anotar la derivación en un apéndice para aquellos de ustedes que estén interesados), pero vale la pena tratar de entender lo que significan físicamente estas relaciones. El punto físico importante que implican estas relaciones es que si las distribuciones de carga y corriente dependen del tiempo, y si están produciendo los campos, entonces lo que determina cuál es el campo en algún momento\(\vec{r}\) son los valores de las distribuciones de carga y corriente en épocas anteriores. Cuanto más lejos esté la carga, más temprano tiene que ser el tiempo. Eso es lo que nos\(t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\) está diciendo el factor de. La aparición de este factor es una especie de condición límite en el infinito. Es congruente con la versión relativista del principio de causalidad. Debido a que la información no se puede transferir más rápido que la luz, una distribución de carga en un punto espacio-tiempo\(\left(\vec{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\) puede afectar a los campos en el punto espacio-tiempo\((\vec{r}, t)\), solo si\(t \geq t^{\prime}\) y\[\frac{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}{t-t^{\prime}} \leq c\]

En estas relaciones, (12.82) y (12.83), sin embargo, la condición es aún más fuerte —una distribución de carga en un punto espacio-tiempo\(\left(\vec{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\) puede afectar los campos en el punto espacio-tiempo\((\vec{r}, t)\) solo si la luz puede viajar directamente de\(\left(\vec{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\) a\((\vec{r}, t)\) - es decir, si\(t \geq t^{\prime}\) y\[\text { ck }\]

o\[t-t^{\prime}=\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right| / c\]

o\[t^{\prime}=t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\]

Estas son solo palabras. ¡Esto no lo hemos derivado! La verdadera justificación de esta discusión viene cuando se comprueba que las relaciones realmente satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Eso puede esperar a Física 153 o 232 (o el apéndice si tienes prisa). No obstante, espero que esta discusión al menos haga razonable el resultado. De hecho ya has visto el resultado en acción en 15b en la discusión de Purcell sobre el campo eléctrico a partir de una carga que arranca y se detiene. Mira las ANIMACIONES - PURCELL - el campo a partir de una carga que de repente acelera. Esta es una animación de una figura famosa en el libro de Purcell. Lo interesante de la animación es la torceduras en el campo eléctrico que se propaga desde el evento de aceleración a la velocidad de la luz —porque es luz—. Dentro del kink, los campos son los de la carga móvil. Fuera del tipo, los campos son los de la carga estacionaria. El retorcimiento —la vía electromagnética— es lo que conecta las dos regiones asintóticas entre sí. También es divertido comparar con PURCELL2 que ilustra lo que sucede si una carga inicialmente móvil se detiene repentinamente.

Ahora veamos cómo se ven los campos eléctricos y magnéticos en un límite importante. La conexión entre los potenciales y los campos es la siguiente:\[\vec{E}=-\vec{\nabla} \phi-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{A}\]

\[\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}\]

Estas relaciones son completamente generales. El límite especial que quiero considerar es aquel en el que las cargas y corrientes están confinadas a una pequeña región alrededor\(\vec{r} = 0\). Entonces veremos los campos eléctricos y magnéticos producidos por las cargas móviles a lo lejos, para grandes\(|\vec{r}|\). De hecho, es más fácil mirar el campo magnético:\[\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}=\vec{\nabla} \times \frac{1}{c} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\]

El punto es que el rizo\((\vec{\nabla} \times)\) puede operar en dos lugares diferentes, ya sea en el\(1 /\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|\) o sobre el\(-\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right| / c\) en la dependencia del tiempo de\(\mathcal{J}\). El primero da una contribución que cae de como\(1 / r^{2}\) para grandes\(r\), al igual que el campo magnético de una distribución de corrientes independiente del tiempo. Pero el segundo da una contribución que sólo se cae como\(1/r\). De esta manera esta contribución domina para grandes\(r\). De manera explícita (usando la regla de la cadena), es\[\vec{B}=-\frac{1}{c^{2}} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\vec{r}-\vec{r}^{\prime}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|^{2}} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[\rightarrow-\frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} \int d^{3} r^{\prime} \hat{r} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

donde en (12.92) hemos caído a\(\overrightarrow{r^{\prime}}\) en el numerador porque este término cae como\(1 / r^{2}\) para grande\(r\).

Este es el campo magnético de una onda electromagnética. Observe que es perpendicular a la dirección del movimiento\((\hat{r})\). La\(1/r\) caída es lo que esperamos de una onda electromagnética, porque la densidad de energía va como el cuadrado del campo, y cae\(1 / r^{2}\) como a medida que la onda se propaga.

El campo eléctrico se puede computar de manera similar, aunque también es necesario utilizar la conservación de la carga eléctrica. \[\frac{\partial}{\partial t} \rho+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}}=0\]

Como cabría esperar, el resultado es que el campo eléctrico tiene la misma magnitud que el campo magnético y es perpendicular tanto a la dirección del movimiento como al campo magnético. La pieza que corresponde a una onda electromagnética viajera puede escribirse como\[\vec{E} \rightarrow-\frac{1}{c^{2}} \int d^{3} r^{\prime} \frac{\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|} \times\left(\frac{\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|^{2}} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right)\]

\[\rightarrow \frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} \int d^{3} r^{\prime} \hat{r} \times\left(\hat{r} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right)\]

Al orden más bajo\(1/r\) para cargas que se mueven con velocidades mucho más pequeñas que\(c\), podemos simplificar el campo eléctrico en (12.95) sustituyendo\[|\vec{r}-\vec{r}| \rightarrow r\]

y escribe el resultado como\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx \frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} \int d^{3} r^{\prime} \hat{r} \times\left(\hat{r} \times \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathcal{J}}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-r / c\right)\right)\]

El motivo de la restricción al movimiento no relativista de cargas es que si una partícula cargada se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, entonces no podemos descuidar su posición,\(\overrightarrow{r^{\prime}}\), cuando se está moviendo hacia\(\vec{r}\). Para ver esto, considera el límite imposible en el que la carga se mueve hacia el punto\(\vec{r}\) a la velocidad de la luz. Entonces si la carga contribuye al campo eléctrico a la vez, entonces también contribuye en momentos posteriores porque la partícula se mantiene al día con la onda de luz en movimiento.\(\vec{r}\) Si bien\(v = c\) es imposible, pues\(v \approx c\), la\(\overrightarrow{r^{\prime}}\) dependencia no puede ser ignorada porque conduce a una dependencia muy rápida en el tiempo de los potenciales, y por ende a grandes campos. Lo que sucede es que la contribución de las cargas que se mueven relativisticamente a los campos eléctricos frente a ellos se ven potenciadas por factores de\(\frac{c}{c-v}\). Este efecto es ampliamente utilizado hoy en día para producir “luz” intensa a partir de aceleradores de partículas, la llamada radiación de sincrotrón. Puedes ver este efecto en las ANIMACIONES si haces\(v\) cerca de 1.

Un caso particularmente importante e instructivo de (12.97) es el movimiento no relativista de una sola carga\(Q\), moviéndose a lo largo de una trayectoria\(\vec{R}(t)\). Para este sistema, ⁵\[\overrightarrow{\mathcal{J}}(\vec{r}, t)=Q \vec{v}(t) \delta^{3}(\vec{r}-\vec{R}(t))=Q \frac{d \vec{R}(t)}{d t} \delta^{3}(\vec{r}-\vec{R}(t))\]

Entonces la integración sobre\(d^{3} r^{\prime}\) adentro\((a)\) elimina la\(\delta\) función -y el campo eléctrico de la onda electromagnética saliente es proporcional a la aceleración,\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx \frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} Q \hat{r} \times(\hat{r} \times \vec{a}(t-r / c))\]

donde\[\vec{a}(t)=\frac{d^{2} \vec{R}(l)}{d t^{2}}\]

Todo lo que los productos cruzados con\(\hat{r}\) hacer es escoger menos el componente de\(\vec{a}(l-r / c)\) que es perpendicular a\(\vec{r}\). Se desprende de la famosa identidad “bac-cab”,\[\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b}),\]

que\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx-\frac{1}{c^{2}} \frac{1}{r} Q(\vec{a}(t-r / c)-\hat{r}(\hat{r} \cdot \vec{a}(t-r / c))) .\]

Esto tenía que suceder porque el campo eléctrico de una onda electromagnética es perpendicular a su dirección de movimiento. En este caso, para grandes\(r\), la ola es casi una onda plana que se mueve en dirección\(\vec{r}\).

Patrón de antena

Hagamos un ejemplo aún más explícito considerando una carga que oscila armónicamente a lo largo del\(z\) eje,\[\vec{R}(t)=\ell \hat{z} \cos \omega t .\]

para que\[\vec{a}(t)=-\ell \omega^{2} \hat{z} \cos \omega t .\]

\[\vec{E}(\vec{r}, t) \approx \frac{\ell \omega^{2}}{c^{2}} \frac{1}{r} Q(\hat{z}-\hat{r}(\hat{r} \cdot \hat{z})) \cos [\omega(t-r / c)] .\]

El vector\(\hat{z}-\hat{r}(\hat{r} \cdot \hat{z})\) es el componente de\(\hat{z}\) perpendicular a\(\vec{r}\), como se ilustra en la Figura\( 12.13\).

Figura\( 12.13\):

Evidentemente, la magnitud de\(\hat{z}-\hat{r}(\hat{r} \cdot \hat{z})\) es\(\sin \theta\). Esto significa que la intensidad de la onda electromagnética en un ángulo\(\theta\) desde el\(z\) eje es proporcional a\(\sin ^{2} \theta\). El patrón de intensidad se puede representar convenientemente en coordenadas polares, donde trazamos la intensidad en función de\(\theta\). El resultado se muestra a continuación. Este es el “patrón de antena” para la oscilación

Figura\( 12.14\):

dipolo en la\(z\) dirección. Se muestra en la Figura\( 12.14\). Los dos lóbulos del patrón surgen porque el campo es más alto en el\(y\) plano\(x\) -, para\(\theta=\pi / 2\), y cae a cero a medida que nos acercamos al\(z\) eje,\(\theta = 0\) o\(\theta = \pi\).

Comprobación de las ecuaciones de Maxwell

A estas cosas se les llama potenciales retardados. Este es un nombre confuso, ya que realmente no hay nada especial en los propios potenciales. Lo que es especial es el supuesto de una relación particular entre los potenciales y las cargas y corrientes —que los campos están siendo producidos enteramente por las cargas y corrientes—. Aquí muestro que satisfacen las ecuaciones de Maxwell. A esto lo llamo apéndice porque NO eres responsable de conocer los detalles. Lo incluyo para tu educación general.

Algunas cosas matemáticas a notar sobre la solución:\[\frac{\partial}{\partial t} \rho+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}}=0\]

implica\[\frac{\partial}{\partial t} \rho+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{J}}=0\]

A esto se le llama condición de calibre Lorentz. \[\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=-\nabla^{2} \phi-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \cdot \vec{A}\]

\[=\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \phi\]

\[=\int d^{3} r^{\prime}\left(\rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\left(-\nabla^{2}\right) \frac{1}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\right.\]

\[+\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[\left.-2\left(\vec{\nabla} \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right) \cdot\left(\vec{\nabla} \frac{1}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\right)\right)\]

El primer término es el que queremos. Es\[=\int d^{3} r^{\prime} \rho\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right) 4 \pi \delta^{3}\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)\]

\[=4 \pi \rho(\vec{r}, t)\]

Los otros dos términos cancelan por la forma especial de la variable\(t-\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right| / c\). \[\frac{1}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|}\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \rho\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[-2\left(\vec{\nabla} \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\right) \cdot\left(\vec{\nabla} \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\right)\]

\[=\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \frac{1}{c^{2}} \ddot{\rho}\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[+\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \frac{1}{c} \vec{\nabla} \cdot \frac{\vec{r}-\vec{r}^{\prime}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \dot{\rho}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

\[-2 \frac{1}{c} \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \dot{\rho}\left(\vec{r}^{\prime}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right)\]

donde\(*\) significa diferenciación con respecto a la variable de tiempo:\[\left.\dot{\rho}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c\right) \equiv \frac{\partial}{\partial t^{\prime}} \rho\left(\overrightarrow{r^{\prime}}, t^{\prime}\right)\right|_{t^{\prime}=t-\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right| / c}\]

\(i\)y\(ii\) provienen de\(a\) (de los\(−\nabla^{2}\) términos\(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\) y respectivamente) y\(iii\) proviene de\(b\). Ahora el\(\vec{\nabla}\) in\(ii\) da dos términos —actuar sobre\(\dot{\rho}\) cancelaciones\(i\) y actuar sobre cancelaciones\(iii\). Así\[\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=4 \pi \rho .\]

Asimismo,\[\vec{\nabla} \times \vec{B}-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{E}\]

\[=\vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{A})-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\left(-\vec{\nabla} \phi-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{A}\right)\]

\[=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A})-\nabla^{2} \vec{A}-\vec{\nabla}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \phi\right)+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \vec{A}\]

o usando la condición de calibre Lorentz,\[=\left(-\nabla^{2}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \vec{A}\]

Forma aquí en adelante, la derivación es la misma que para\(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}\), y encontramos\[\vec{\nabla} \times \vec{B}-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \vec{E}=\frac{4 \pi}{c} \overrightarrow{\mathcal{J}}\]

QED.

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⁵ Esta ecuación hace uso de la notación δ-función. Para un físico, una función δ-δ (x) es solo una función que tiene área 1 y tiene un pico tan brusco alrededor de x = 0 que no nos importa exactamente cómo se vea. Todo lo que importa es la zona y donde está el pico. El δ3 ~ ¡~r − R (t) ¢ en la ecuación es en realidad el producto de tres funciones delta, para los componentes x, y y z, y simplemente te dice que ~r = (x, y, z) = R~ (t) = X ¡(t), Y (t), Z (t) ¢ — es decir que la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria R~ (t). Para una discusión matemática de la función δ-puede mirar http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html. Pero no se asuste. Es solo un dispositivo sencillo para ignorar pequeños detalles que no nos importan. Si traduces la integral en palabras o imágenes, puede ser de ayuda.