6.7.1: Simulación de Dos Ondas Lineales

Las olas que hemos estado discutiendo hasta ahora y las que más se ven en la vida cotidiana, como la luz y el sonido, son en su mayor parte ondas lineales. Las ondas lineales tienen la propiedad, llamada superposición, de que sus amplitudes se suman linealmente si llegan al mismo punto al mismo tiempo. Esto da lugar a varios fenómenos interesantes en la naturaleza que investigaremos en esta y en las próximas simulaciones.

La simulación muestra la función\(f(x, t)\) en rojo,\(g(x,t)\) azul y\(u(x,t) = f(x,t) + g(x,t)\) gris. Las casillas de verificación en la parte inferior derecha determinan qué funciones son visibles. Puede ingresar sus propias funciones para\(f(x,t)\) y\(g(x,t)\) usando las mismas notaciones utilizadas para hojas de cálculo y calculadoras.

Preguntas de simulación:

1. Desmarca la\(g(x,t)\) función para que solo\(f(x,t)\) se esté mostrando. ¿Cuál es la amplitud (la mitad de la altura desde el punto más alto hasta el punto más bajo) de\(f(x,t)\)? Ahora medir la amplitud de\(g(x,t)\) (deberían ser los mismos). Ahora encuentra la amplitud de la suma,\(u(x,t)\). ¿Cómo se compara la amplitud de la suma con la amplitud de\(f(x,t)\) o\(g(x,t)\)? Este es un ejemplo de interferencia constructiva; las dos ondas se suman para dar una onda con una amplitud que es la suma de las dos amplitudes.
2. Inicia la simulación (botón en la parte inferior izquierda). ¿Cómo se\(g(x,t)\) compara la longitud de onda, frecuencia y velocidad de\(f(x,t)\) o con la longitud de onda, frecuencia y velocidad de\(u(x,t)\)?
3. Cambie\(f(x,t)\) para tener una fase de\(π\) (la simulación lee pi como\(π\); escriba o corte y pegue\(\text{2.0*sin(x - t + pi)}\)\(f(x,t)\) y presione Return o Enter). Ejecuta la simulación. ¿Qué pasa con la amplitud de la suma de las dos ondas,\(u(x,t)\)? Este es un ejemplo de interferencia destructiva. Escribe una definición de interferencia destructiva en tus propias palabras.
4. Experimentar con casos entre la interferencia destructiva total y la interferencia constructiva total cambiando la fase de\(f(x,t)\) ser\(π/2,\: π/3,\) y\(π/4\). Detenga la simulación cada vez y registre la amplitud de la suma en comparación con la amplitud de\(f(x,t)\) o\(g(x,t)\).
5. Haga clic en el botón de reinicio (cuarto botón en la parte inferior izquierda) y luego cambie la amplitud de\(f(x,t)\) desde\(2.0\) a\(3.0\) y la amplitud de\(g(x,t)\) desde\(2.0\) a\(1.0\) (Hit Return o Enter para actualizar los valores). ¿Cuál es la amplitud\(f(x,t) + g(x,t)\) en este caso? ¿Cómo se compara esta amplitud con el caso original?
6. Vuelve a las funciones originales pero cambia uno de los signos menos a un signo más (así ahora\(f(x,t) = 2.0\text{*}\sin (x+t)\) y\(g(x,t) = 2.0\text{*}\sin (x-t)\)). A la suma\(u(x,t)\) se le llama onda estacionaria en este caso (un ejemplo serían las ondas en una cuerda de guitarra como veremos más adelante). Describir el comportamiento de\(u(x,t)\). ¿Cómo se compara el período y la longitud de onda de la onda combinada con el período y la longitud de onda de dos componentes? ¿Cómo se relaciona la amplitud máxima de la suma con las amplitudes de los dos componentes? ¿Qué se puede decir de la velocidad de la suma?
7. Para las ondas estacionarias en una cuerda un nodo es una ubicación donde no hay movimiento y un antinodo es una ubicación donde hay movimiento máximo. Para la onda estacionaria en el ejercicio anterior, ¿cuántos nodos hay? ¿Cuántos antinodos?

Preguntas Avanzadas:

1. Utilice identidades trigonométricas para mostrar que la suma de\(f(x,t) = A \sin (kx + \omega t)\) y\(g(x,t) = A \sin (kx -\omega t)\) es igual\(2A \cos (\omega t) \sin (kx)\). Podemos interpretar esto como una amplitud dependiente del tiempo\(2A \cos (\omega t)\), multiplicando una onda sinusoidal que se fija en el espacio. ¿Qué pasa con la amplitud a medida que aumenta el tiempo? ¿Qué fija la ubicación de los máximos y mínimos de la onda estacionaria (Pista:\(k = 2 π/\lambda \))?
2. Observe que la onda estacionaria tiene amplitud cero en ambos extremos en la simulación. Esto significa que solo ciertas longitudes de onda “encajarán” en una longitud dada. Mira si puedes ajustar\(x\) min y\(x\) max para que tengas una onda con más nodos y anti nodos que se ajuste a una cadena más larga con la amplitud aún cero en los extremos. (Pista:\(6.28 =2\pi\).)
3. Ahora ingresa las siguientes funciones:\(f(x,t) = 2.0\text{*}\sin (x-t)\) y\(g(x,t) = 2.0\text{*}\sin (1.1\text{*}x-1.1\text{*}t)\) (puedes cortar y pegar en lugar de escribir). Observe el justo la suma\(u(x,t) = f(x,t) + g(x,t)\) por un tiempo y describa lo que sucede (cambia lentamente). Dos ondas con frecuencias ligeramente diferentes sumadas dan lugar al fenómeno de los beats. Ahora\(f(x,t)\) enciéndalo y\(g(x,t)\) enciende. ¿Estas olas siguen viajando a la misma velocidad que\(u(x,t)\)? Encuentra la frecuencia de latido de la siguiente manera: Detenga la simulación cuando las dos ondas fuente se cancelen exactamente (\(f(x,t) + g(x,t)\)es una línea recta) y registra el tiempo (usa los botones de paso si sobrepasas). Inicia la simulación y vuelve a detenerla la próxima vez que las olas cancelen. Registrar el nuevo tiempo y restar para obtener el tiempo transcurrido. La frecuencia de latido es 1/ (tiempo transcurrido). ¿Cómo se compara esto con la frecuencia de\(f(x,t)\) restado de la frecuencia de\(g(x,t)\)?