11.4: Forma de la Transformación Lorentz
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¿Qué forma general tiene la transformación de Lorentz? Tiene la forma que los matemáticos llaman una transformación lineal. Esto significa que las coordenadas de laboratorio\(x\) y\(t\) están relacionadas con la potencia lineal (primera) de las coordenadas del cohete\(x^{\prime}\) y\(t^{\prime}\) por ecuaciones de la forma
donde nuestra tarea es encontrar expresiones para los coeficientes\(B, D, G\), y\(H\) que no dependan ni del laboratorio ni de las coordenadas del cohete de un evento en particular, aunque sí dependen de la velocidad relativa\(v_{\text {rel }}\).
¿Por qué estas transformaciones deben ser lineales? Porque somos libres de elegir cualquier evento como nuestro evento de referencia, el origen común\(x=y=z=t=0\) en todos los marcos de referencia. Deja que nuestra bujía cohete emita los destellos a\(t^{\prime}=1\) y 2 y 3 metros. Estos están igualmente espaciados en el tiempo del cohete. Según la ecuación\((\mathrm{L}-3)\) estos tres eventos ocurren en tiempos de laboratorio\(t=1 \gamma\) y\(2 \gamma\) y\(3 \gamma\) metros de tiempo. Estos están igualmente espaciados en tiempo de laboratorio. Mover el evento de referencia al primero de estos eventos aún los deja igualmente espaciados en el tiempo para ambos observadores:\(t^{\prime}=0\) y 1 y 2 metros en el cohete y\(t\)\(=0\) y\(1 \gamma\) y\(2 \gamma\) en el laboratorio.
En contraste, supongamos que la ecuación (L-3) no fueron lineales, leyendo en cambio\(t=K t^{\prime 2}\), donde\(K\) hay alguna constante. Tiempos de cohete\(t^{\prime}=1\) y 2 y 3 metros dan como resultado tiempos de laboratorio\(t=1 K\)\(4 K\) y y\(9 K\) metros. Estos no están igualmente espaciados en el tiempo para el observador de laboratorio. Mover el evento de referencia al primer evento resultaría en tiempos de cohetes\(t^{\prime}=0\) y 1 y 2 metros como antes, pero en este caso tiempos de laboratorio\(t=0\) y\(1 K\) y\(4 K\) metros, con un espaciado completamente diferente. Pero la elección del evento de referencia es arbitraria: Cualquier evento está tan calificado para ser evento de referencia como cualquier otro. Un reloj que funcione de manera constante como se observa en un cuadro debe funcionar constantemente en el otro, independientemente de la elección del evento de referencia. Se concluye que la relación entre\(t\) y\(t^{\prime}\) debe ser lineal. Un argumento similar requiere que los eventos igualmente separados en el espacio en el cohete también deben estar igualmente separados en el espacio como se mide en el laboratorio. Por lo tanto, la transformación de Lorentz debe ser lineal tanto en coordenadas de espacio como de tiempo