4.6: Dos aplicaciones

Objetivos de aprendizaje

• La ley Stefan-Boltzmann
• Materia degenerada

La ley Stefan-Boltzmann

En 1818, Dulong y Petit analizaron datos experimentales para encontrar la ley empírica y totalmente incorrecta

\[P \propto \exp[T/(13.5 K)]\]

relacionar la temperatura\(T\) de un cuerpo con la potencia (\(P\)) que emite como radiación electromagnética. (Para ver que debe estar equivocado, tenga en cuenta que no desaparece en cero absoluto.) Fue aceptada hasta 1884, cuando Boltzmann corrigió un error sistemático en su análisis de los datos, y ofreció un argumento teórico para la correcta ley Stefan-Boltzmann:

\[P \propto T^4.\]

Esta ley es extremadamente importante en una variedad de aplicaciones que incluyen el calentamiento global, la estructura estelar, la cosmología y el calentamiento de las manos por el resplandor de un fuego. Los estudiantes de física moderna suelen encontrarlo como un corolario en la historia del desarrollo de la teoría cuántica de Planck, Einstein, et al., pero como veremos a continuación, es un resultado puramente clásico, dependiendo únicamente de la relatividad y la termodinámica.

Considera una caja cúbica aislada de volumen\(V\) que contiene radiación en equilibrio térmico. Dejamos que se expanda uniformemente con entropía constante, para que los tres lados crezcan por el mismo factor a. (Esto es exactamente lo que sucede en la expansión cosmológica). La idea inteligente de Boltzmann era que la radiación pudiera tratarse como el fluido de trabajo en un motor térmico.

Por la relación relativista entre impulso y energía, la energía y el impulso de un rayo de luz son iguales (en unidades naturales). Por lo tanto, si viviéramos en un mundo unidimensional, la presión\(p\) ejercida por nuestra radiación sobre las paredes de su vasija unidimensional equivaldría a su densidad energética\(ρ\). Porque vivimos en un mundo tridimensional, y los momentos a lo largo de los tres ejes están en equilibrio, en cambio tenemos\(p = ρ/3\). A esto se le llama la ecuación de estado de la radiación. En cosmología, otros componentes del universo, como las galaxias, tienen ecuaciones de estado con algún factor distinto al\(1/3\) frente.

A medida que la caja se expande, la presión de la radiación en las paredes sí funciona\(W\). Por conservación de energía, tenemos

\[dU + dW = 0\]

donde\(U\) está la energía de la radiación. Sustituyendo\(U = ρV\) y\(dW = pdV\), obtenemos

\[d(ρV ) + pdV = 0\]

Aplicando la regla del producto, separando variables e integrando, encontramos

\[\rho \propto a^{-4}.\]

Aquí el exponente\(4\) es simplemente el número de dimensiones espaciales más una. Exactamente la misma relación que mantenía en el universo primitivo, que estaba dominado por la radiación más que por la materia.

Debido a que no hay transferencia de calor, la entropía es constante. La entropía se puede interpretar como una medida del número de estados accesibles, y debido a que el conteo de estados no depende del escalado, los modos de vibración ocupados permanecen iguales. Así, las longitudes de onda simplemente crecen en proporción a a. (Una versión más formal y rigurosa de este argumento se llama el teorema adiabático, probado por Born y Fock en 1928.) Si bien este es un argumento clásico, podemos guardar algo de trabajo en este punto apelando a la mecánica cuántica para un atajo. Como un fotón tiene una energía\(1/λ\), tenemos

\[U \propto \frac{1}{\lambda } \propto \frac{1}{a}\]

La temperatura de la radiación es proporcional a la energía promedio por grado de libertad, por lo que tenemos

\[T \propto \frac{1}{a}\]

también.

Por lo tanto\(\rho \propto T^4\). Esto equivale al resultado de Stefan-Boltzmann, porque los rayos de luz viajan a la velocidad fija\(c\), y por lo tanto el flujo de radiación es proporcional a la densidad de energía. A pesar de que esta proporcionalidad final es de naturaleza clásica, el valor de la constante de proporcionalidad depende de la constante de Planck y es cuántico-mecánica.

Materia degenerada

Las propiedades del vector momentum tienen implicaciones sorprendentes para la materia sometida a presiones extremas, como en una estrella que consume todo su combustible para la fusión nuclear y colapsa. Estas implicaciones fueron consideradas inicialmente demasiado exóticas para ser tomadas en serio por los astrónomos.

Una estrella ordinaria y pequeña como el nuestro propio sol tiene suficiente hidrógeno para sostener reacciones de fusión durante miles de millones de años, manteniendo un equilibrio entre su gravedad y la presión de sus gases. Cuando se agota el hidrógeno, tiene que comenzar a fusionar elementos más pesados. Esto lleva a un período de fluctuaciones relativamente rápidas en la estructura. La fusión nuclear avanza hasta la formación de elementos tan pesados como el oxígeno (\(Z = 8\)), pero las temperaturas no son lo suficientemente altas como para superar la fuerte repulsión eléctrica de estos núcleos para crear otros aún más pesados. Parte de la materia se sopla, pero finalmente cesan las reacciones nucleares y la estrella se derrumba bajo la atracción de su propia gravedad.

Para entender lo que sucede en tal colapso, tenemos que entender el comportamiento de los gases bajo presiones muy altas. En general, una superficie\(A\) dentro de un gas está sujeta a colisiones en un tiempo a\(t\) partir de las\(n\) partículas que ocupan el volumen

\[V = Avt\]

donde\(v\) está la velocidad típica de las partículas. La presión resultante viene dada por

\[P \sim \frac{npv}{V}\]

donde\(p\) está el ímpetu típico.

Gas no degenerado

En un gas ordinario como el aire, las partículas son no relativistas, por lo que

\[v = p/m\]

y la energía térmica por partícula es

\[\frac{p^2}{2m} \sim kT\]

por lo que la presión es

\[P \sim \frac{nkT}{V}\]

Gas no relativista, degenerado

Cuando un gas fermiónico está sujeto a una presión extrema, los efectos dominantes que crean presión son cuántico-mecánicos. Debido al principio de exclusión de Pauli, el volumen disponible para cada partícula es\(\sim V/n\), por lo que su longitud de onda no es más que\((\sim V/n)^{1/3}\), lo que lleva a

\[p = \frac{h}{\lambda } \sim h\left ( \frac{n}{V} \right )^{1/3}\]

Si las velocidades de las partículas siguen siendo no relativistas, entonces\(v = p/m\) aún se mantiene, por lo que la presión se vuelve

\[P \sim \left ( \frac{h^2}{m} \right ) \left ( \frac{n}{V} \right )^{5/3}\]

Gas relativista y degenerado

Si la compresión es lo suficientemente fuerte como para causar un movimiento altamente relativista para las partículas, entonces\(v \approx c\), y el resultado es

\[P \sim hc \left ( \frac{n}{V} \right )^{4/3}\]

A medida que una estrella con la masa de nuestro sol colapsa, llega a un punto en el que los electrones comienzan a comportarse como un gas degenerado, y el colapso se detiene. El objeto resultante se llama enana blanca. Una enana blanca debe ser un cuerpo extremadamente compacto, aproximadamente del tamaño de la Tierra. Debido a su pequeña superficie, debería emitir muy poca luz. En 1910, antes de que se hicieran las predicciones teóricas, Russell, Pickering y Fleming descubrieron que 40 Eridani B tenían estas características. Russell recordó: “Yo sabía lo suficiente al respecto, incluso en estos días paleozoicos, para darme cuenta de inmediato que había una inconsistencia extrema entre lo que entonces habríamos llamado valores 'posibles' del brillo y densidad de la superficie. Debo haber demostrado que no solo estaba perplejo sino caído, ante esta excepción a lo que parecía una regla muy bonita de características estelares; pero Pickering me sonrió y me dijo: 'Son solo estas excepciones las que llevan a un avance en nuestro conocimiento', ¡y así las enanas blancas entraron al reino del estudio! ”

Figura\(\PageIndex{1}\): Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995)

S. Chandrasekhar demostró en esa década de 1930 que había un límite superior a la masa de una enana blanca. Recapitularemos su cálculo briefly en forma condensada de orden de magnitud. La presión en el núcleo de la estrella es

\[P \sim \rho gr \sim \frac{GM^2}{r^4}\]

donde\(M\) está la masa total de la estrella. La estrella contiene aproximadamente el mismo número de neutrones, protones, y electrones, entonces\(M = Knm\), donde\(m\) está la masa del electrón,\(n\) es el número de electrones, y\(K ≈ 4000\). Para las estrellas cercanas al límite, los electrones son relativistas. Ajustando la presión en el núcleo igual a la presión de degeneración de un gas relativista, encontramos que el límite de Chandrasekhar es\(\sim \left ( \frac{hc}{G} \right )^{3/2} (Km)^{-2} = 6M\odot\). Un cálculo menos descuidado da algo más parecido\(1.4M \odot\).

¿Qué pasa con una estrella cuya masa está por encima del límite de Chandrasekhar? A medida que brotan las reacciones de fusión nuclear, el núcleo de la estrella se convierte en una enana blanca, pero una vez que la fusión cesa por completo esto no puede ser un estado de equilibrio. Consideremos ahora las reacciones nucleares

\[n \rightarrow p + e^- + \bar{v}\]

\[p + e^- \rightarrow n + v\]

que ocurren debido a la débil fuerza nuclear. El primero de estos lanzamientos\(0.8\: MeV\), y tiene una vida media de\(14\) minutos. Esto explica por qué los neutrones libres no se observan en números significativos en nuestro universo, por ejemplo, en los rayos cósmicos. La segunda reacción requiere un aporte\(0.8\: MeV\) de energía, por lo que un átomo de hidrógeno libre es estable. La enana blanca contiene núcleos bastante pesados, no protones individuales, pero parecerían aplicarse consideraciones similares. Un núcleo puede absorber un electrón y convertir un protón en un neutrón, y en este contexto el proceso se llama captura de electrones. Normalmente este proceso solo ocurrirá si el núcleo es deficiente en neutrones; una vez que alcanza una relación neutrón-protón que optimiza su energía de unión, la captura de neutrones no puede continuar sin una fuente de energía para hacer que la reacción vaya. En el ambiente de una enana blanca, sin embargo, existe tal fuente. La aniquilación de un electrón abre un agujero en el “mar de Fermi”. Ahora hay un estado en el que se permite que caiga otro electrón sin violar el principio de exclusión, y el efecto cae en cascada hacia arriba. En una estrella con una masa por encima del límite de Chandrasekhar, este proceso se completa hasta su finalización, y cada protón se convierte en neutrón. El resultado es una estrella de neutrones, que es esencialmente un núcleo atómico (con\(Z = 0\)) ¡con la masa de una estrella!

La evidencia observacional de la existencia de estrellas de neutrones llegó en 1967 con la detección por Bell y Hewish en Cambridge de una misteriosa señal de radio con un periodo de\(1.3373011\) segundos. La observabilidad de la señal se sincronizó con la rotación de la tierra en relación con las estrellas, más que con el tiempo legal del reloj o la rotación de la tierra en relación con el sol. Esto llevó a la conclusión de que su origen estaba en el espacio más que en la tierra, y Bell y Hewish originalmente la denominaron LGM-1 para “hombrecitos verdes”. El descubrimiento de una segunda señal, desde una dirección diferente en el cielo, los convenció de que en realidad no era una señal artificial generada por extraterrestres. Bell publicó la observación como apéndice de su tesis doctoral, y pronto se interpretó como una señal de una estrella de neutrones. Las estrellas de neutrones pueden estar altamente magnetizadas, y debido a esta magnetización pueden emitir un haz direccional de radiación electromagnética que barre a través del cielo una vez por período de rotación: el “efecto faro”. Si la tierra se encuentra en el plano del haz, se puede detectar una señal periódica, y la estrella se denomina púlsar. Es bastante fácil ver que el corto periodo de rotación dificulta explicar un púlsar como cualquier tipo de objeto giratorio menos exótico. En la aproximación de la mecánica newtoniana, un cuerpo esférico de densidad\(ρ\), que gira con un periodo\(T = \sqrt{\frac{3\pi }{G\rho }}\), tiene gravedad aparente cero en su ecuador, ya que la gravedad es lo suficientemente fuerte como para acelerar un objeto de manera que siga una trayectoria circular por encima de un punto fijo en la superficie. En realidad, los cuerpos astronómicos de tamaño planetario y mayor se mantienen unidos por su propia gravedad, por lo que tenemos\(T \gtrsim \frac{1}{\sqrt{G\rho }}\) para cualquier cuerpo que no se desprenda espontáneamente debido a su propia rotación. En el caso del púlsar Bell-Hewish, esto implica\(\rho \gtrsim 10^{10}\: kg/m^3\), que es mucho mayor que la densidad de la materia normal, y también\(10 - 100\) veces mayor que la densidad típica de una enana blanca cercana al límite de Chandrasekhar.

Un límite superior en la masa de una estrella de neutrones se puede encontrar de una manera totalmente análoga al cálculo del límite de Chandrasekhar. La única diferencia es que la masa de un neutrón es mucho mayor que la masa de un electrón, y los neutrones son las únicas partículas presentes, por lo que no hay factor de\(K\). Asumiendo el resultado más preciso de\(1.4M\odot\) para el límite de Chandrasekhar en lugar de nuestro descuidado, e ignorando la interacción de los neutrones a través de la fuerte fuerza nuclear, podemos inferir un límite superior en la masa de una estrella de neutrones:

\[1.4M\odot \left ( \frac{Km_e}{m_n} \right )^2 \approx 5M\odot\]

Las incertidumbres teóricas en tal estimación son bastante grandes. Tolman, Oppenheimer, y Volkoff originalmente lo estimaron en 1939 como\(0.7M\odot\), mientras que las estimaciones modernas están más en el rango de\(1.5M\odot\) a\(3M\odot\). Estos son significativamente más bajos que nuestra estimación cruda de\(5M\odot\), principalmente porque la naturaleza atractiva de la fuerte fuerza nuclear tiende a tirar de la estrella hacia el colapso. Resultados inequívocos son actualmente imposibles debido a las incertidumbres al extrapolar el comportamiento de la fuerza fuerte del régimen de núcleos ordinarios, donde ha sido relativamente bien parametrizada, al ambiente exótico de una estrella de neutrones, donde la densidad es significativamente diferente y no hay protones presente. Hay una variedad de efectos que pueden ser difíciles de anticipar o de calcular. Por ejemplo, Brown y Bethe encontraron en 1994 ¹ que podría ser posible que el límite de masa se revisara drásticamente debido al proceso\(e^- \rightarrow K^- + v_e\), lo cual es imposible en el espacio libre debido a la conservación de energía, pero podría ser posible en una estrella de neutrones. Observacionalmente, casi todas las estrellas de neutrones parecen estar en un rango de masa sorprendentemente pequeño, entre\(1.3M\odot\) y\(1.45M\odot\), pero en 2010\(1.97 \pm 0.04 M\odot\) se descubrió una estrella de neutrones con una masa de, descartando la mayoría de los modelos de estrellas de neutrones que incluían materia exótica. ²

Para las estrellas con masas por encima del límite Tolman-Oppenheimer-Volkoff, parece probable, tanto por motivos teóricos como de observación, terminemos con un agujero negro: un objeto con un horizonte de eventos que corta su interior del resto del universo.

Referencias

¹ H.A. Bethe y G.E. Brown, “Restricciones observacionales sobre la masa estelar máxima de neutrones”, Astrophys. J. 445 (1995) L129. G.E. Brown y H.A. Bethe, “Un escenario para un gran número de agujeros negros de baja masa en la galaxia”, Astrophys. J. 423 (1994) 659. Ambos trabajos están disponibles en adsabs.harvard.edu.

² Demorest et al., arxiv.org/abs/1010.5788v1.