5.1: Introducción a la Curvatura

La relatividad general describe la gravitación como una curvatura del espacio-tiempo, con la materia actuando como fuente de la curvatura de la misma manera que la carga eléctrica actúa como fuente de campos eléctricos. Nuestro objetivo es llegar a las ecuaciones de campo de Einstein, que relacionan la curvatura intrínseca local con la materia localmente ambiental de la misma manera que la ley de Gauss relaciona la divergencia local del campo eléctrico con la densidad de carga. La localidad de las ecuaciones es necesaria porque la relatividad no tiene acción a distancia; causa y efecto se propagan a una velocidad máxima de\(c(= 1)\).

La parte dura es llegar a la forma correcta de definir la curvatura. Ya hemos visto que puede ser complicado distinguir la curvatura intrínseca, que es real, de la curvatura extrínseca, que nunca podrá producir efectos observables. Por ejemplo, el Ejemplo 5 mostró que las esferas tienen curvatura intrínseca, mientras que los cilindros no. La notación tensora manifiestamente intrínseca nos protege de ser engañados en este sentido. Si podemos formular una definición de curvatura expresada utilizando únicamente tensores que se expresan sin referencia a ningún sistema de coordenadas preordenado, entonces sabemos que es físicamente observable, y no solo una característica superficial de un modelo en particular.

Figura\(\PageIndex{1}\) - La estructura esperada de las ecuaciones de campo en la relatividad general.

Como ejemplo, deja caer dos rocas lado a lado, Figura 5.0.2. Sus trayectorias son verticales, pero en una parcela de\((t, x)\) coordenadas renderizadas en el marco de referencia de la Tierra, aparecen como parátulas paralelas. La curvatura de estas paráguilas es extrínseca. El marco de referencia fijo a la Tierra lo define un observador que está sujeto a fuerzas no gravitacionales, y por lo tanto no es un marco Lorentz válido. En un marco Lorentz de caída libre\((t', x')\), las dos rocas están inmóviles o se mueven a velocidad constante en líneas rectas. Por lo tanto, podemos ver que la curvatura de las líneas mundiales en un sistema de coordenadas particular no es una medida intrínseca de curvatura; puede surgir simplemente de la elección del sistema de coordenadas. Lo que indicaría una curvatura intrínseca sería, por ejemplo, si las geodésicas que inicialmente eran paralelas convergieran o divergieran.

Figura\(\PageIndex{2}\) - Dos rocas se dejan caer una al lado de la otra. Las curvaturas de sus líneas mundiales no son intrínsecas. En un marco de caída libre, ambos aparecerían rectos. Si inicialmente las líneas mundiales paralelas se volvieran no paralelas, eso sería evidencia de curvatura intrínseca.

Tampoco la métrica es una medida de curvatura intrínseca. En el ejemplo 19, encontramos que la métrica para un observador acelerado es

\[g'_{t' t'} = (1 + ax')^{2} \qquad g_{x' x'} = -1,\]

donde los primos indican el marco acelerado del observador. El hecho de que el elemento similar al tiempo no sea igual a −1 no es una indicación de curvatura intrínseca. Surge únicamente de la elección de las coordenadas (t', x') definidas por un marco atado al cohete acelerante.

El hecho de que la métrica anterior tenga derivados que no se desvanecen, a diferencia de una métrica constante de Lorentz, sí indica la presencia de un campo gravitacional. Sin embargo, un campo gravitacional no es lo mismo que la curvatura intrínseca. El campo gravitacional visto por un observador a bordo de la nave es, por el principio de equivalencia, indistinguible de una aceleración, y de hecho el observador lorentziano en el marco de la tierra lo describe como derivado de la aceleración de la nave, no de un campo gravitacional que impregna todo el espacio. Ambos observadores deben estar de acuerdo en que “no tengo nada de sobra” —que la región del universo a la que tienen acceso carece de estrellas, neutrinos o nubes de polvo. El observador a bordo del barco debe describir el campo gravitacional que detecta como derivado de alguna fuente muy lejana, tal vez una hipotética vasta hoja de plomo que se encuentra miles de millones de años luz a popa de las placas de cubierta del barco. Tal hipótesis está bien, pero no está relacionada con la estructura de nuestra esperada ecuación de campo, que es ser de naturaleza local.

No sólo el tensor métrico no representa el campo gravitacional, sino que ningún tensor puede representarlo. Por el principio de equivalencia, cualquier campo gravitacional visto por el observador A puede eliminarse cambiando al cuadro de un observador de caída libre B que se encuentra instantáneamente en reposo con respecto a A en un momento determinado. La estructura de la ley de transformación del tensor garantiza que A y B acuerden si un tensor dado es cero en el punto espacio-tiempo donde pasan uno junto al otro. Dado que están de acuerdo en todos los tensores, y no están de acuerdo en el campo gravitacional, el campo gravitacional no puede ser un tensor.

Por lo tanto, concluimos que una curvatura intrínseca distinta de cero del tipo que se va a incluir en las ecuaciones de campo de Einstein no está codificada de ninguna manera simple en la métrica o sus primeras derivadas. Dado que ni la métrica ni sus primeras derivadas indican curvatura, podemos conjeturar razonablemente que la curvatura podría estar codificada en sus segundas derivadas.