5.3: El tensor Estrés-Energía

En general, la curvatura del espacio-tiempo contendrá contribuciones tanto de las fuerzas mareales como de fuentes locales, superpuestas unas sobre otras. Para desarrollar la formulación correcta para las ecuaciones de campo de Einstein, necesitamos eliminar la parte de la marea. En términos generales, haremos esto promediando la curvatura seccional sobre los tres planos\(t−x\)\(t−y\), y\(t−z\), dando una medida de curvatura llamada curvatura Ricci. El “en términos generales” se debe a que tal prescripción trataría las coordenadas de tiempo y espacio de una manera extremadamente asimétrica, lo que violaría la invarianza local de Lorentz.

Para hacernos una idea de cómo funcionaría esto, comparemos con el caso newtoniano, donde realmente hay una asimetría entre el tratamiento del tiempo y el espacio. En la teoría cartense curvo-espacio-tiempo de la gravedad newtoniana (Capítulo 2), la ecuación de campo tiene una especie de curvatura escalar de Ricci en un lado, y en el otro lado está la densidad de masa, que también es un escalar. En relatividad, sin embargo, el término fuente en la ecuación claramente no puede ser la densidad de masa escalar. Sabemos que la masa y la energía son equivalentes en relatividad, por lo que por ejemplo la curvatura del espacio-tiempo alrededor de la tierra depende no sólo de la masa de sus átomos sino también de todas las demás formas de energía que contiene, como la energía térmica y la energía electromagnética y nuclear de unión. ¿Puede el término fuente en las ecuaciones de campo de Einstein ser, por lo tanto, la masa-energía E? No, porque E es simplemente el componente temporal del cuatro vector de impulso de una partícula. Destacarlo violaría la invarianza de Lorentz tanto como un tratamiento asimétrico del tiempo y el espacio en la construcción de una medida de curvatura Ricci. Para obtener una teoría propiamente invariante de Lorentz, necesitamos encontrar una manera de formular todo en términos de ecuaciones tensoras que no hagan referencia explícita a las coordenadas. La generalización adecuada de la densidad de masa newtoniana en la relatividad es el tensor tensión-energía T ^ij, cuyos 16 elementos miden la densidad local de masa-energía e impulso, y también la velocidad de transporte de estas cantidades en diversas direcciones. Si por casualidad podemos encontrar un marco de referencia en el que la materia local esté todo en reposo, entonces\(T^{tt}\) represente la densidad de masa. La razón de la palabra “estrés” en el nombre es que, por ejemplo, el flujo de impulso x en la dirección x es una medida de presión.

Para los fines de la presente discusión, no es necesario introducir la definición explícita de T; el punto es simplemente que debemos esperar que las ecuaciones de campo de Einstein sean ecuaciones tensoras, lo que nos dice que la definición de curvatura que buscamos claramente tiene que ser un tensor de rango 2, no un escalar. Las implicaciones en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones son bastante complejas. Terminaremos con un tensor rank-4 que mide la curvatura seccional, y un tensor Ricci rank-2 derivado de él que promedia los efectos mareales. Las ecuaciones de campo de Einstein luego relacionan el tensor Ricci con el tensor energía-impulso de cierta manera. El tensor de tensión-energía se discute más a fondo en la Sección 8.1.