8.8: Se revisó el principio de Mach

La teoría de Brans-Dicke

El propio Mach nunca logró exponer sus ideas en forma de una teoría física precisamente comprobable, y hemos visto que en la medida en que las esperanzas y la intuición de Einstein se habían formado por las ideas de Mach, a menudo sentía que su propia teoría de la gravedad se quedó corta. El lector se ha encontrado hasta ahora con el principio de Mach en el contexto de ciertos experimentos de pensamiento que obviamente son imposibles de realizar, involucrando un universo hipotético que está vacío a excepción de ciertos aparatos (p. ej., sección 3.6). Sería fácil, entonces, hacerse una impresión del principio de Mach como una de esas teorías que “ni siquiera está equivocada”, es decir, tan mal definida que ni siquiera puede ser falsificada por el experimento, más de lo que puede ser el cristianismo.

Pero en 1961, Robert Dicke y su alumno Carl Brans idearon una teoría de la gravedad que hacía predicciones comprobables, y que fue diseñada específicamente para ser más maquiana que relatividad general. Su papel ³² es extremadamente legible, incluso para los no especialistas. En esta teoría, la definición operativa aparentemente infalible de un marco Lorentz dada en la sección 1.5 falla. En la primera página, Brans y Dicke proponen uno de esos aparentemente tontos experimentos pensativos sobre un universo casi vacío:

La expresión imperfecta de [las ideas de Mach] en la relatividad general se puede ver considerando el caso de un espacio vacío a excepción de un experimentador solitario en su laboratorio. [...] El observador, según la relatividad general, observaría el comportamiento normal de su aparato de acuerdo con las leyes habituales de la física. No obstante, también de acuerdo con la relatividad general, el experimentador podría hacer girar su laboratorio inclinándose por una ventana y disparando tangencialmente su rifle calibre 22. A partir de entonces, el delicado giroscopio en el laboratorio continuaría apuntando en una dirección casi fija en relación con la dirección de movimiento de la bala que retrocede rápidamente. El giroscopio giraría con relación a las paredes del laboratorio. Así, desde el punto de vista de Mach, la pequeña bala, casi sin masa, muy distante parece ser más importante que las paredes masivas y cercanas del laboratorio para determinar los marcos de coordenadas inerciales y la orientación del giroscopio.

Luego proceden a construir una teoría matemática y más maquiana de la gravedad. Desde el punto de vista maquiano, la correcta definición local de un marco inercial debe determinarse en relación con el grueso de la materia en el universo. Queremos conservar el carácter local lorentziano del espacio-tiempo, por lo que esta influencia no se puede transmitir a través de la acción instantánea a distancia. Debe propagarse a través de algún campo físico, a una velocidad menor o igual a c. Es inverosímil que este campo sea el campo gravitacional descrito por la relatividad general. Supongamos que dividimos el cosmos en una serie de conchas esféricas concéntricas centradas en nuestra galaxia. En la mecánica newtoniana, el campo gravitacional obedece a la ley de Gauss, por lo que el campo de tal concha se desvanece de manera idéntica en el interior. En relatividad, la afirmación correspondiente es el teorema de Birkhoff, que establece que la métrica de Schwarzschild es la solución esféricamente simétrica única a las ecuaciones de campo de vacío. Dada esta solución en el universo exterior, podemos establecer una condición de límite en la superficie exterior del caparazón, usar las ecuaciones de campo de Einstein para extender la solución a través de ella y encontrar una solución única en el interior, que es simplemente un espacio plano.

Dado que el efecto machiano no puede ser llevado por el campo gravitacional, Brans y Dicke retomaron una idea propuesta anteriormente por Pascual Jordan ³³ de plantear la hipótesis de un campo auxiliar\(\phi\). El hecho de que tal campo nunca haya sido detectado de manera directa sugiere que no tiene masa ni carga. Si es sin masa, debe propagarse exactamente a c, y esto también tiene sentido porque si se propagara a velocidades inferiores a c, no habría ningún parámetro físico obvio que determinara esa velocidad. ¿Cuántos índices tensores debería tener? Dado que el principio de Mach intenta dar cuenta de la inercia, y la masa inercial es un escalar, ³⁴\(\phi\) debería ser presumiblemente un escalar (cuantificado por una partícula de espín cero). Las teorías de este tipo se denominan teorías tensor-escalares, porque utilizan un campo escalar además del tensor métrico.

Notas

³³ Jordan era miembro del nazi Sturmabteilung o “camisas marrones” que, sin embargo, entró en conflicto con los nazis por sus estrechas relaciones profesionales con los judíos.

³⁴ Se ha colocado un límite de 5 × 10 ⁻²³ a la anisotropía de la masa inercial del protón: R.W.P. Drever, “Una búsqueda de anisotropía de masa inercial mediante una técnica de precesión libre”, Revista Filosófica, 6:687 (1961) 683.

La ecuación de onda para un campo escalar sin masa, en ausencia de fuentes, es simplemente\(\nabla_{i} \nabla^{i}_{\phi}\) = 0. Las soluciones de esta ecuación de onda caen como\(\phi \sim \frac{1}{r}\). Esto es más suave que la\(\frac{1}{r^{2}}\) variación del campo gravitacional, por lo que ya no se aplican resultados como el teorema de la concha de Newton y el teorema de Birkhoff. Si un caparazón esférico de masa actúa como fuente de\(\phi\), entonces\(\phi\) puede ser distinto de cero y variar dentro de la concha. Lo\(\phi\) que experimentas en este momento mientras lees este libro debería ser una suma de ondículas originadas en todas las masas cuyas líneas mundiales cruzaban la superficie de tu cono de luz pasado. En un universo estático, esta suma divergiría linealmente, por lo que un requisito de autoconsistencia para la gravedad Brans-Dicke es que debe producir soluciones cosmológicas que eviten tal divergencia, por ejemplo, las que comienzan con Big Bangs.

Las masas son las fuentes del campo\(\phi\). ¿Cómo se deben acoplar a ella? Dado que\(\phi\) es un escalar, necesitamos construir un escalar como su fuente, y el único escalar razonable que puede desempeñar este papel es la traza del tensor estres-energía, T ⁱ _i. Como se discutió en el ejemplo 11, esto se desvanece para la luz, por lo que las únicas fuentes de\(\phi\) son partículas de material. ³⁵ Aun así, la teoría Brans-Dicke conserva una forma del principio de equivalencia. Como se discute en la sección 1.5 y problema 7, el principio de equivalencia es una afirmación sobre los resultados de los experimentos locales, y\(\phi\) en cualquier lugar dado del universo está dominado por contribuciones de la materia que se encuentran a distancias cosmológicas. Los objetos de diferente composición tendrán diferentes fracciones de su masa que surgen de campos electromagnéticos internos. Dos de esos objetos seguirán geodésicas idénticas, ya que su propio efecto sobre el valor local de\(\phi\) es insignificante. Esto es diferente al comportamiento de los objetos cargados eléctricamente, que experimentan efectos significativos de retroreacción en el espacio curvo (problema 7). Sin embargo, la forma más fuerte del principio de equivalencia requiere que todos los experimentos en laboratorios de caída libre produzcan resultados idénticos, sin importar dónde y cuándo se lleven a cabo. La gravedad Brans-Dicke viola esto, porque tales experimentos podrían detectar diferencias entre el valor de\(\phi\) en diferentes ubicaciones, pero por supuesto esto es parte integral del propósito de la teoría.

Nota

Esto lleva a una excepción a la afirmación anterior de que se espera que todos los espacio-tiempos Brans-Dicke se parezcan a las cosmologías del Big Bang. Cualquier solución de las ecuaciones de campo GR que no contenga más que campos de vacío y electromagnéticos (conocida como solución “elevtrovac”) también es un espacio-tiempo válido de Brans-Dicke. En tal espacio-tiempo, una constante\(\phi\) puede establecerse arbitrariamente. Tal espacio-tiempo en cierto sentido no es genérico para la gravedad de Brans-Dicke.

Ahora necesitamos ver cómo\(\phi\) conectarnos con la noción local de inercia para producir un efecto del tipo que tendería a cumplir el principio de Mach. En la formulación original de Mach, esto implicaría algún tipo de reescalado local de todas las masas inerciales, pero Brans y Dicke señalan que en una teoría de la gravedad, esto equivale a escalar la constante gravitacional newtoniana G hacia abajo por el mismo factor. Este último resulta ser un mejor enfoque. Por un lado, tiene una interpretación natural en términos de unidades. \(\phi\)Ya que la amplitud se cae como\(\frac{1}{r}\), podemos escribir\(\phi \sim \frac{\Sigma m_{i}}{r}\), donde la suma está sobre el cono de luz pasado. Si entonces hacemos la identificación de\(\phi\) con\(\frac{1}{G}\) (o\(\frac{c^{2}}{G}\) en un sistema donde c ≠ 1), las unidades funcionan correctamente, y la constante de acoplamiento entre la materia y\(\phi\) puede ser sin unidades. Si esta constante de acoplamiento, anotada\(\frac{1}{\omega}\), no fuera sin unidades, entonces el valor predictivo de la teoría se debilitaría, porque no habría manera de saber qué valor elegir para ella. Para una constante sin unidad, sin embargo, hay una manera razonable de adivinar lo que debería ser: “en cualquier teoría sensata”, escriben Brans y Dicke, “\(\omega\)debe ser del orden general de magnitud de la unidad”. Esto es, por supuesto, asumiendo que la teoría Brans-Dicke era correcta. En general, hay otros valores razonables para elegir para un número sin unidad, incluyendo cero e infinito. El límite de\(\omega\) → ∞ recupera el caso especial de relatividad general. Así, el principio de Mach, que alguna vez parecía demasiado vago para ser empíricamente falsificable, se reduce a medir un número específico\(\omega\), que cuantifica cuán no maquiano es nuestro universo. ³⁶

Nota

Otra buena razón técnica para pensar que\(\phi\) se relaciona con la constante gravitacional es que la relatividad general tiene una prescripción estándar para describir campos sobre un fondo de espacio-tiempo curvo. Las ecuaciones de campo vacío de la relatividad general pueden derivarse del principio de menor acción, y aunque los detalles están más allá del alcance de este libro (ver, e.g., Wald, Relatividad General, apéndice E), la idea general es que definamos un LG de densidad lagrangiana que depende del Ricci curvatura escalar, y luego extremizar su integral sobre todas las historias posibles de la evolución del campo gravitacional. Si queremos describir algún otro campo, como la materia, la luz o\(\phi\), simplemente tomamos el Lagrangiano especial-relativista\(\mathcal{L}_{M}\) para ese campo, cambiamos todas las derivadas por derivadas covariantes, y formamos la suma\((\frac{1}{G}) \mathcal{L}_{G} + \mathcal{L}_{M}\). En la teoría de Brans-Dicke, tenemos tres piezas,\((\frac{1}{G}) \mathcal{L}_{G} + \mathcal{L}_{M} + \mathcal{L}_{\phi}\), donde\(\mathcal{L}_{M}\) es para la materia y\(\mathcal{L}_{\phi}\) para\(\phi\). Si tuviéramos que interpretar\(\phi\) como una reescalación de inercia, entonces tendríamos que haber\(\phi\) aparecido como un factor de fudge modificando todos los funcionamientos internos de\(\mathcal{L}_{M}\). Si, por otro lado, pensamos en cambiar\(\phi\) el valor de la constante gravitacional G, entonces la modificación necesaria es sumamente sencilla. Brans y Dicke introducen una modificación adicional para\(\mathcal{L}_{\phi}\) que la constante de acoplamiento\(\omega\) entre la materia y\(\phi\) pueda ser sin unidades. Esta modificación no tiene ningún efecto sobre la ecuación de onda de\(\phi\) en espacio-tiempo plano.

Predicciones de la Teoría Brans-Dicke

Volviendo al ejemplo de la concha esférica de masa, podemos ver con base en consideraciones de unidades que debe ser el valor de\(\phi\) interior\(\sim \frac{m}{r}\), donde m es la masa total de la concha y r es su radio. Puede haber un factor sin unidades al frente, del que dependerá\(\omega\), pero para\(\omega\) ∼ 1 esperamos que esta constante sea del orden 1. Resolviendo el desagradable conjunto de ecuaciones de campo que resultan de su Lagrangian, Brans y Dicke efectivamente encontraron\(\phi \approx \big[ \frac{2}{3 + 2 \omega} \big](\frac{m}{r})\), donde la constante entre corchetes es de unidad de orden si\(\omega\) es de unidad de orden. En el límite de\(\omega\) → ∞,\(\phi\) = 0, y el caparazón no tiene ningún efecto físico en su interior, como lo predice la relatividad general.

Brans y Dicke también pudieron calcular modelos cosmológicos, y en un modelo típico con un universo casi espacialmente plano, encontraron que\(\phi\) variarían según

\[\phi = 8 \pi \frac{4 + 3 \omega}{6 + 4 \omega} \rho_{o} t^{2}_{o} \left(\dfrac{t}{t_{o}}\right)^{\frac{2}{4 + \omega}},\]

donde\(\rho_{o}\) está la densidad de la materia en el universo en el tiempo t = t _o. Cuando la densidad de la materia es pequeña, G es grande, lo que tiene las mismas consecuencias observacionales que la desaparición de la inercia; esto es exactamente lo que se espera según el principio de Mach. Para\(\omega\) → ∞, la “constante” gravitacional G =\(\frac{1}{\phi}\) realmente es constante.

Volviendo al experimento de pensamiento que involucra el rifle calibre 22 disparado por la ventana, encontramos que en este universo imaginario, con una densidad de materia muy pequeña, G debería ser muy grande. Esto provoca un efecto de arrastre de marco desde el laboratorio sobre el giroscopio, uno mucho más fuerte de lo que veríamos en nuestro universo. Brans y Dicke calcularon este efecto para un laboratorio consistente en una concha esférica, y aunque las dificultades técnicas impidieron la extrapolación confiable de su resultado a\(\rho_{o}\) → 0, la tendencia fue que a medida que\(\rho_{o}\) se hizo pequeño, el efecto de arrastre del marco se haría cada vez más fuerte, presumiblemente eventualmente obligando al giroscopio a un preceso en paso de traba con el laboratorio. Por lo tanto, no habría manera de determinar, una vez que la bala estuviera lejos, que el laboratorio estaba rotando en absoluto —en perfecta concordancia con el principio de Mach—.

Pistas de Soporte Empírico

Apenas seis años después de la publicación de la teoría Brans-Dicke, el propio Dicke, junto con H.M. Goldenberg ³⁷ llevaron a cabo una medición que parecía sustentar empíricamente la teoría. Cincuenta años antes, una de las primeras pruebas empíricas de relatividad general, que parecía pasar con colores voladores, fue la anómala precesión perihelio de Mercurio. Se requiere la palabra “anómalo”, que a menudo se deja fuera en las descripciones de esta prueba, porque hay muchas razones no relativistas por las que precede la órbita de Mercurio, incluidas las interacciones con los otros planetas y la forma oblata del sol. Sólo cuando se restan estos otros efectos se ve el efecto general-relativista calculado en la sección 6.2. La oblatitud del sol es difícil de medir ópticamente, por lo que el análisis original de los datos había procedido determinando el período de rotación del sol mediante la observación de manchas solares, y luego asumiendo que el bulto del sol era el encontrado para un fluido giratorio en equilibrio estático. El resultado fue una supuesta oblatitud de aproximadamente 1 × 10 ⁻⁵. Pero sabemos que la dinámica del sol es más complicada que esto, ya que tiene corrientes de convección y campos magnéticos. Dicke, quien ya era un experimentalista de renombre, se propuso determinar la oblatencia mediante mediciones ópticas directas, y el resultado fue (5.0 ± 0.7) × 10 ⁻⁵, lo que, aunque todavía muy pequeño, fue suficiente para poner la precesión del perihelio observada fuera de acuerdo con la relatividad general en cerca de 8%. La precesión perihelio predicha por la gravedad de Brans-Dicke difiere del resultado relativista general por un factor de\(\frac{4 + 3 \omega}{6 + 3 \omega}\). Por lo tanto, los datos parecían requerir\(\omega\) ≈ 6 ± 1, lo que sería inconsistente con la relatividad general.

Figura\(\PageIndex{1}\) - El aparato utilizado por Dicke y Goldenberg para medir la oblatencia del sol era esencialmente un telescopio con un disco insertado para opacar la mayor parte de la luz del sol.

El principio de Mach es falso

El problema con las mediciones de oblatencia solar fue que estaban sujetas a un gran número de posibles errores sistemáticos, y por esta razón fue deseable encontrar una prueba más confiable de la gravedad de Brans-Dicke. No hasta alrededor de 1990 surgió un consenso, basado en mediciones de oscilaciones de la superficie solar, de que el valor pre-Dicke era correcto. Entretanto, la confusión tuvo el efecto saludable de estimular un renacimiento del trabajo teórico y experimental en la relatividad general. A menudo, si no se tiene una teoría alternativa, no se tiene una base razonable sobre la cual diseñar e interpretar experimentos para probar la teoría original.

Actualmente, el mejor límite en ω se basa en mediciones ³⁸ de la propagación de señales de radio entre la tierra y la sonda espacial Cassini-Huygens en 2003, que requieren\(\omega\) > 4 × 10 ⁴. Esto es tanto mayor que la unidad que es razonable tomar a Brans y Dicke en su palabra de que “en cualquier teoría sensata,\(\omega\) debe ser del orden general de magnitud de la unidad”. Brans-Dicke falla esta prueba, y ya no es un candidato “sensato” para una teoría de la gravedad. Ahora podemos ver que el principio de Mach, lejos de ser una pieza borrosa de mirada filosófica del ombligo, es una hipótesis comprobable. Se ha probado y encontrado que es falso, en el siguiente sentido. La gravedad Brans-Dicke es casi tan natural una implementación formal del principio de Mach como podría esperarse, y nos da un número ω que parametriza cómo es Maquian el universo. El valor empírico de\(\omega\) es tan grande que muestra que nuestro universo es esencialmente tan no-maquiano como la relatividad general.

Referencias

³² C. Brans y R. H. Dicke, “El principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación”, Revisión física 124 (1961) 925

³⁷ Dicke y Goldenberg, “Oblatencia solar y relatividad general”, cartas de revisión física 18 (1967) 313

³⁸ Bertotti, Iess y Tortora, “Una prueba de relatividad general usando enlaces de radio con la nave espacial Cassini”, Nature 425 (2003) 374