4.12: Problemas de ensamble II

Los problemas que quedan en este capítulo tratan de los mismos temas de “principios” que hacen los demás, pero asumen cierta familiaridad con temas físicos y matemáticos que aún no hemos tratado. Los coloco aquí por su carácter, pero no espero que los hagas en este momento. En cambio, enumero sus prerrequisitos y espero que vuelva a ellos más tarde.

4.18 El conjunto grand-ω para el oscilador armónico simple

(Requisito previo: Problemas 4.15 y 5.7.) El problema 4.15 introdujo una clase de conjuntos en los que los parámetros mecánicos en el hamiltoniano no se fijaron sino que permitieron fluctuar bajo el control de algunos parámetros γ. Aplicar este concepto a las moléculas diatómicas del problema 5.7, utilizando la frecuencia natural de vibración como parámetro mecánico. Desarrollar los sugerentes argumentos del problema 4.15 en una prueba matemáticamente rigurosa.

4.19 Partículas en un bol

(Requisito previo: Capítulo 5.) No puedo contar cuántas veces he agitado mis manos y te he dicho que el carácter preciso de los límites debe ser irrelevante para las propiedades a granel que encuentran la mecánica estadística. Ahora tienes la oportunidad de demostrarlo (para una situación restringida por supuesto).

a. Considere N partículas puntuales clásicas que no interactúan, que se mueven sujetas a la función de energía potencial U (r) = Kr ² /2. Evaluar la función de partición clásica Z _b (T, K, N) y compararla con la función de partición Z _h (T, V, N) para N partículas en un contenedor de paredes duras de volumen V.

b. ¿Para qué V (en función de K) serán iguales las dos funciones de partición en la parte (a.)?

c. El contenedor “bowl” no tiene paredes rígidas, por lo que es posible que una partícula se ubique a cualquier distancia del origen. Pero, ¿no es probable que una partícula se vaya demasiado lejos? Calcular el radio rms\( \sqrt{\left\langle r^{2}\right\rangle}\). (¿Usar equipartición?)

d. Supongamos que el contenedor de paredes duras es esférico con radio R. Colocar el origen en el centro de la esfera y encontrar el radio rms\(\sqrt{\left\langle r^{2}\right\rangle}\).

e. para la V correspondiente a K en el sentido de la parte (b.), compare los dos radios rms.

Extra: Hacer este problema cuántico mecánicamente. (Clue: Observe la similitud matemática entre este problema y el modelo de Einstein de vibraciones de celosía.)

4.20 Quantal gas monatómico ideal

(Requisito previo: Capítulo 6.) Muchas veces hemos considerado el problema de N partículas puntuales clásicas que no interactúan en una caja de longitud de borde L = V ^1/3. Ahora vamos a resolver el problema de las partículas mecánicas cuánticas.

La función de partición es\( Z=\sum e^{-\beta E}\), donde la suma se toma sobre los estados propios de energía de muchas partículas ψ (r ₁,.., r _N). Ignorar los requisitos de simetría bajo intercambio para que dichos estados se especifiquen mediante una simple lista de los niveles de una partícula componente (u orbitales) η _k (r). Así pues, ψ puede especificarse simplemente enumerando los valores k relevantes de sus niveles de componentes. Demuestre entonces que

\[ Z=\frac{1}{N !}\left(\sum_{\mathbf{k}} e^{-\beta E_{k}}\right)^{N}\]

donde\( E_{k}=\hbar^{2} k^{2} / 2 m\) y la suma es sobre todo k permitido por las condiciones de frontera periódicas. Evaluar la suma (en el límite termodinámico) convirtiéndola en una integral. Comparar la función de partición resultante con la de un gas ideal monatómico clásico.

4.21 Gas ideal monatómico quantal en el conjunto microcanónico

Considerar la situación del problema anterior pero calcular la función de partición microcanónica Ω (E, V, N). Comparar con el resultado clásico.