A.5: Un ejemplo

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Nuestro primer ejemplo es el siguiente simple hecho sobre uniones e intersecciones de conjuntos. Ilustrará definiciones de desempaque, pruebas de conjunciones, de reclamos universales y pruebas por casos.

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier juego\(A\)\(B\),\(C\), y\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)

¡Vamos a probarlo!

Comprobante. Queremos mostrar eso para cualquier conjunto\(A\),\(B\), y\(C\),\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)

Primero desempacamos la definición de “\(=\)” en el enunciado de la proposición. Recordemos que probar conjuntos idénticos significa mostrar que los conjuntos tienen los mismos elementos. Es decir, todos los elementos de también\(A \cup (B \cap C)\) son elementos de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\), y viceversa. El “viceversa” significa que también cada elemento de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\) debe ser un elemento de\(A \cup (B \cap C)\). Entonces al desempacar la definición, vemos que tenemos que probar una conjunción. Vamos a grabar esto:

Por definición,\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) si cada elemento de\(A \cup (B \cap C)\) es también un elemento de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\), y cada elemento de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\) es un elemento de\(A \cup (B \cap C)\).

Dado que se trata de una conjunción, debemos probar cada conjunción por separado. Empecemos por el primero: probemos que cada elemento de\(A \cup (B \cap C)\) es también un elemento de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\).

Se trata de una reivindicación universal, por lo que consideramos un elemento arbitrario de\(A \cup (B \cap C)\) y demostramos que también debe ser un elemento de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\). Escogeremos una variable para llamar a este elemento arbitrario por, digamos,\(z\). Nuestra prueba continúa:

Primero, demostramos que cada elemento de\(A \cup (B \cap C)\) es también un elemento de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\). Vamos\(z \in A \cup (B \cap C)\). Tenemos que demostrarlo\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

Ahora es el momento de desempacar la definición de\(\cup\) y\(\cap\). Por ejemplo, la definición de\(\cup\) es:\(A \cup B = \Setabs{z}{z \in A \text{ or } z \in B}\). Cuando aplicamos la definición a “\(A \cup (B \cap C)\),” el papel del “\(B\)” en la definición ahora lo juega “\(B \cap C\),” así\(A \cup (B \cap C) = \Setabs{z}{z \in A \text{ or } z \in B \cap C}\). Entonces nuestra suposición que\(z \in A \cup (B \cap C)\) equivale a:\(z \in \Setabs{z}{z \in A \text{ or } z \in B \cap C}\). Y\(z \in \Setabs{z}{\dots z\dots}\) si...\(z\)..., es decir, en este caso,\(z \in A\) o\(z \in B \cap C\).

Por la definición de\(\cup\), ya sea\(z \in A\) o\(z \in B \cap C\).

Dado que se trata de una disyunción, será útil aplicar pruebas por casos. Tomamos los dos casos, y demostramos que en cada uno, se obtiene la conclusión a la que nos dirigimos (es decir, “\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\)”).

Caso 1: Supongamos que\(z \in A\).

No hay mucho más de lo que trabajar en base a nuestras suposiciones. Entonces veamos con qué tenemos que trabajar en la conclusión. Eso queremos demostrarlo\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). A partir de la definición de\(\cap\), si queremos mostrar eso\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), tenemos que demostrar que está en ambos\((A \cup B)\) y\((A \cup C)\). Pero\(z \in A \cup B\) iff\(z \in A\) o\(z \in B\), y ya tenemos (como el supuesto del caso 1) eso\(z \in A\). Por el mismo razonamiento—cambiar\(C\) por\(B\) —\(z \in A \cup C\). Este argumento fue en sentido inverso, así que grabemos nuestro razonamiento en la dirección necesaria en nuestra prueba.

Desde\(z \in A\),\(z \in A\) o\(z \in B\), y por lo tanto, por definición de\(\cup\),\(z \in A \cup B\). De igual manera,\(z \in A \cup C\). Pero esto quiere decir que\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), por definición de\(\cap\).

Esto completa el primer caso de la prueba por casos. Ahora queremos derivar la conclusión en el segundo caso, donde\(z \in B \cap C\).

Caso 2: Supongamos que\(z \in B \cap C\).

Nuevamente, estamos trabajando con la intersección de dos conjuntos. Apliquemos la definición de\(\cap\):

Ya que\(z \in B \cap C\),\(z\) debe ser un elemento de ambos\(B\) y\(C\), por definición de\(\cap\).

Es hora de volver a mirar nuestra conclusión. Tenemos que demostrar que\(z\) está en ambos\((A \cup B)\) y\((A \cup C)\). Y nuevamente, la solución es inmediata.

Ya que\(z \in B\),\(z \in (A \cup B)\). Ya que\(z \in C\), también\(z \in (A \cup C)\). Entonces,\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

Aquí aplicamos las definiciones de\(\cup\) y\(\cap\) otra vez, pero como ya recordamos esas definiciones, y ya demostramos que si\(z\) está en uno de dos conjuntos está en su unión, no tenemos que ser tan explícitos en lo que hemos hecho.

Hemos completado el segundo caso de la prueba por casos, así que ahora podemos hacer valer nuestra primera conclusión.

Entonces, si\(z \in A \cup (B \cap C)\) entonces\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

Ahora solo queremos mostrar la otra dirección, que cada elemento de\((A \cup B) \cap (A \cup C)\) es un elemento de\(A \cup (B \cap C)\). Como antes, probamos esta afirmación universal asumiendo que tenemos un elemento arbitrario del primer set y demostramos que debe estar en el segundo set. Digamos lo que estamos a punto de hacer.

Ahora, asuma eso\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Eso queremos demostrarlo\(z \in A \cup (B \cap C)\).

Ahora estamos trabajando a partir de la hipótesis de que\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Ojalá no sea demasiado confuso que estemos usando lo mismo\(z\) aquí que en la primera parte de la prueba. Cuando terminamos esa parte, todas las suposiciones que hemos hecho ahí ya no están vigentes, así que ahora podemos hacer nuevas suposiciones sobre lo que\(z\) es. Si eso te resulta confuso, solo tienes que reemplazar\(z\) con una variable diferente en lo que sigue.

Sabemos que\(z\) es en ambos\(A \cup B\) y\(A \cup C\), por definición de\(\cap\). Y por la definición de\(\cup\), podemos desempacar aún más esto para: cualquiera\(z \in A\) o\(z \in B\), y también cualquiera\(z \in A\) o\(z \in C\). Esto parece una prueba por los casos otra vez, excepto el “y” lo hace confuso. Se podría pensar que esto equivale a que haya tres posibilidades:\(z\) es o en\(A\),\(B\) o\(C\). Pero eso sería un error. Tenemos que tener cuidado, así que consideremos cada disyunción a su vez.

Por definición de\(\cap\),\(z \in A \cup B\) y\(z \in A \cup C\). Por definición de\(\cup\),\(z \in A\) o\(z \in B\). Distinguimos casos.

Desde que nos estamos enfocando en la primera disyunción, aún no hemos recibido nuestra segunda disyunción (de desempacar\(A \cup C\)). De hecho, todavía no lo necesitamos. El primer caso es\(z \in A\), y un elemento de un conjunto es también un elemento de la unión de ese conjunto con cualquier otro. Así que el caso 1 es fácil:

Caso 1: Supongamos que\(z \in A\). De ello se deduce que\(z \in A \cup (B \cap C)\).

Ahora para el segundo caso,\(z \in B\). Aquí desempacaremos el segundo\(\cup\) y haremos otra prueba por casos:

Caso 2: Supongamos que\(z \in B\). Ya que\(z \in A \cup C\), ya sea\(z \in A\) o\(z \in C\). Distinguimos más casos:

Caso 2a:\(z \in A\). Entonces, de nuevo,\(z \in A \cup (B \cap C)\).

Ok, esto fue un poco raro. En realidad no necesitábamos la suposición de que\(z \in B\) para este caso, pero eso está bien.

Caso 2b:\(z \in C\). Entonces\(z \in B\) y\(z \in C\), así\(z \in B \cap C\), y consecuentemente,\(z \in A \cup (B \cap C)\).

Esto concluye tanto pruebas por casos y así terminamos con la segunda mitad.

Entonces, si\(z \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\) entonces\(z \in A \cup (B \cap C)\). ◻