Sección 4: Tablas de verdad parciales

Para demostrar que una oración es una tautología, necesitamos demostrar que es 1 en cada fila. Entonces necesitamos una tabla completa de la verdad. Para demostrar que una oración no es una tautología, sin embargo, solo necesitamos una línea: una línea en la que la oración es 0. Por lo tanto, para demostrar que algo no es una tautología, basta con proporcionar una tabla de verdad parcial de una línea, independientemente de cuántas letras de oración pueda tener la oración en ella.

Consideremos, por ejemplo, la oración (\(U\)&\(T\)) → (\(S\)&\(W\)). Queremos demostrar que no es una tautología proporcionando una tabla de verdad parcial. Nos metemos en 0 para toda la oración. El principal conectivo de la sentencia es un condicional. Para que el condicional sea falso, el antecedente debe ser verdadero (1) y el consecuente debe ser falso (0). Así que los metemos sobre la mesa:

\(S\)	\(T\)	\(U\)	\(W\)	(\(U\)&\(T\)) → (\(S\)&\(W\))
				1 0 0

Para que el (\(U\)&\(T\)) sea cierto, ambos\(U\) y\(T\) debe ser cierto.

\(S\)	\(T\)	\(U\)	\(W\)	(\(U\)&\(T\)) → (\(S\)&\(W\))
	1	1		1 1 0 0

Ahora solo necesitamos hacer (\(S\)&\(W\)) false. Para ello, necesitamos hacer al menos uno de\(S\) y\(W\) falso. Podemos hacer ambas\(S\) y\(W\) falsas si queremos. Todo lo que importa es que toda la frase resulte falsa en esta línea. Al tomar una decisión arbitraria, acabamos la mesa de esta manera:

\(S\)	\(T\)	\(U\)	\(W\)	(\(U\)&\(T\)) → (\(S\)&\(W\))
	1	1	0	1 1 0 0 0 0

Demostrar que algo es una contradicción requiere una tabla de verdad completa. Demostrar que algo no es una contradicción requiere sólo una tabla de verdad parcial de una línea, donde la oración es verdadera en esa línea.

Una sentencia es contingente si no es ni una tautología ni una contradicción. Entonces, demostrar que una oración es contingente requiere una tabla de verdad parcial de dos líneas: La oración debe ser verdadera en una línea y falsa en la otra. Por ejemplo, podemos demostrar que la frase anterior es contingente con esta tabla de verdad:

\(S\)	\(T\)	\(U\)	\(W\)	(\(U\)&\(T\)) → (\(S\)&\(W\))
0 0	1 1	1 0	0 0	1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

Tenga en cuenta que hay muchas combinaciones de valores de verdad que habrían hecho verdadera la oración, así que hay muchas formas en las que podríamos haber escrito la segunda línea.

Demostrar que una oración no es contingente requiere proporcionar una tabla de verdad completa, porque requiere demostrar que la oración es una tautología o que es una contradicción. Si no sabes si una sentencia en particular es contingente, entonces no sabes si vas a necesitar una tabla de verdad completa o parcial. Siempre puedes empezar a trabajar en una mesa de verdad completa. Si completas filas que muestran que la oración es contingente, entonces puedes parar. Si no, entonces completa la tabla de la verdad. Aunque dos filas cuidadosamente seleccionadas mostrarán que una oración contingente es contingente, no hay nada de malo en completar más filas.

Demostrar que dos oraciones son lógicamente equivalentes requiere proporcionar una tabla de verdad completa. Demostrar que dos oraciones no son lógicamente equivalentes requiere sólo una tabla de verdad parcial de una línea: Hacer la tabla para que una oración sea verdadera y la otra falsa.

Demostrar que un conjunto de oraciones es consistente requiere proporcionar una fila de una tabla de verdad en la que todas las oraciones sean verdaderas. El resto de la tabla es irrelevante, por lo que una tabla de verdad parcial de una línea servirá. Demostrar que un conjunto de oraciones es inconsistente, en cambio, requiere de una tabla de verdad completa: Se debe demostrar que en cada fila de la tabla al menos una de las oraciones es falsa.

Demostrar que un argumento es válido requiere una tabla de verdad completa. Demostrar que un argumento no es válido solo requiere proporcionar una tabla de verdad de una línea: Si puede producir una línea en la que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa, entonces el argumento no es válido.

Aquí hay una tabla que resume cuándo se requiere una tabla de verdad completa y cuándo servirá una tabla de verdad parcial.

tautología?
contradicción?
contingente?
equivalente?
consistente?
¿válido?

SI	NO
tabla de verdad completa tabla de verdad completa tabla de verdad parcial de dos líneas tabla de verdad completa tabla de verdad parcial de una línea tabla de verdad completa	tabla de verdad parcial de una línea tabla de verdad parcial de una línea tabla de verdad completa tabla de verdad parcial de una línea tabla de verdad completa tabla de verdad parcial de una línea

Cuadro 3.2: ¿Necesitas una tabla de verdad completa o una tabla de verdad parcial? Depende de lo que estés tratando de mostrar.