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13.8: Resumen

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    103683
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    Template:MathJaxZach

    Las máquinas Turing están determinadas por sus conjuntos de instrucciones, que son conjuntos finitos de quintuplos (para cada estado y símbolo leído, especifique nuevo estado, símbolo escrito y movimiento de la cabeza). Los conjuntos finitos de quintuplos son enumerables, por lo que hay una manera de asociar un número con cada conjunto de instrucciones de máquina Turing. El índice de una máquina Turing es el número asociado con su conjunto de instrucciones bajo un esquema fijo de este tipo. De esta manera podemos “hablar” de máquinas Turing de manera indirecta, hablando de sus índices.

    Un problema importante sobre el comportamiento de las máquinas Turing es si eventualmente se detienen. Dejar\(h(e, n)\) ser la función que\(= 1\) si la máquina Turing con índice se\(e\) detiene cuando se inicia en la entrada\(n\), y de\(=0\) lo contrario. Se llama la función de detención. La cuestión de si la función de detención es en sí misma Turing computable se llama el problema de detención. La respuesta es no: el problema de la detención es irresoluble. Esto se establece usando un argumento diagonal.

    El problema de la detención es solo un ejemplo de una clase más grande de problemas de la forma “\(X\)se pueden lograr usando máquinas Turing”. Otro problema central de la lógica es el problema de decisión para la lógica de primer orden: ¿existe una máquina de Turing que pueda decidir si una oración dada es válida o no? Este famoso problema también se resolvió negativamente: el problema de la decisión es irresoluble. Esto se establece mediante un argumento de reducción: podemos asociarnos con cada máquina de Turing\(M\) e ingresar\(w\) una oración de primer orden\(T(M, w) \lif E(M, w)\) que es válida si se\(M\) detiene cuando se inicia en la entrada\(w\). Si el problema de decisión fuera solucionable, podríamos usarlo para resolver el problema de detención.


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