A.6: Otro ejemplo

Prueba. Supongamos que\(A \subseteq C\). Eso queremos demostrarlo\(A \cup (C \setminus A) = C\).

Comenzamos observando que se trata de una declaración condicional. Se cuantifica tácitamente universalmente: la proposición sostiene para todos los conjuntos\(A\) y\(C\). Entonces\(A\) y\(C\) son variables para conjuntos arbitrarios. Para acreditar tal afirmación, asumimos el antecedente y probamos lo consecuente.

Seguimos utilizando el supuesto de que\(A \subseteq C\). Vamos a desempaquetar la definición de\(\subseteq\): la suposición significa que todos los elementos de también\(A\) son elementos de\(C\). Anote esto, es un hecho importante que usaremos a lo largo de la prueba.

Por la definición de\(\subseteq\), ya que\(A \subseteq C\), para todos\(z\), si\(z \in A\), entonces\(z \in C\).

Hemos desempaquetado todas las definiciones que se nos dan en el supuesto. Ahora podemos pasar a la conclusión. Queremos mostrar eso\(A \cup (C \setminus A) = C\), y así establecemos una prueba similar al último ejemplo: mostramos que cada elemento de\(A \cup (C \setminus A)\) es también un elemento de\(C\) y, a la inversa, cada elemento de\(C\) es un elemento de\(A \cup (C \setminus A)\). Podemos acortar esto a:\(A \cup (C \setminus A) \subseteq C\) y\(C \subseteq A \cup (C \setminus A)\). (Aquí estamos haciendo lo contrario de desempaquetar una definición, pero hace que la prueba sea un poco más fácil de leer). Como se trata de una conjunción, tenemos que probar ambas partes. Para mostrar la primera parte, es decir, que cada elemento de\(A \cup (C \setminus A)\) es también un elemento de\(C\), asumimos que\(z \in A \cup (C \setminus A)\) para una arbitraria\(z\) y mostrar eso\(z \in C\). Por la definición de\(\cup\), podemos concluir eso\(z \in A\) o\(z \in C \setminus A\) desde\(z \in A \cup (C \setminus A)\). Ahora deberías estar cogiendo la caída de esto.

\(A \cup (C \setminus A) = C\)iff\(A \cup (C \setminus A) \subseteq C\) y\(C \subseteq (A \cup (C \setminus A)\). Primero lo demostramos\(A \cup (C \setminus A) \subseteq C\). Vamos\(z \in A \cup (C \setminus A)\). Entonces, ya sea\(z \in A\) o\(z \in (C \setminus A)\).

Hemos llegado a una disyunción, y a partir de ella queremos probarlo\(z \in C\). Esto lo hacemos usando prueba por casos.

Caso 1:\(z \in A\). Ya que para todos\(z\)\(z \in A\), si\(z \in C\),, tenemos eso\(z \in C\).

Aquí hemos utilizado el hecho registrado anteriormente que siguió de la hipótesis de la proposición de que\(A \subseteq C\). El primer caso está completo, y pasamos al segundo caso,\(z \in (C \setminus A)\). Recordemos que\(C \setminus A\) denota la diferencia de los dos conjuntos, es decir, el conjunto de todos los elementos de los\(C\) cuales no son elementos de\(A\). Pero cualquier elemento de\(C\) no en\(A\) es en particular un elemento de\(C\).

Caso 2:\(z \in (C \setminus A)\). Esto significa que\(z \in C\) y\(z \notin A\). Entonces, en particular,\(z \in C\).

Genial, hemos demostrado la primera dirección. Ahora para la segunda dirección. Aquí lo demostramos\(C \subseteq A \cup (C \setminus A)\). Entonces asumimos eso\(z \in C\) y lo demostramos\(z \in A \cup (C \setminus A)\).

Ahora vamos\(z \in C\). Queremos mostrar eso\(z \in A\) o\(z \in C \setminus A\).

Dado que todos los elementos de también\(A\) son elementos de\(C\), y\(C \setminus A\) es el conjunto de todas las cosas que son elementos de\(C\) pero no\(A\), se deduce que\(z\) está en\(A\) o en \(C \setminus A\). Esto puede ser un poco confuso si aún no sabes por qué el resultado es cierto. Sería mejor probarlo paso a paso. Ayudará a utilizar un simple hecho que podamos exponer sin pruebas:\(z \in A\) o\(z \notin A\). A esto se le llama el “principio de medio excluido”: para cualquier afirmación\(p\), o\(p\) es verdadera o su negación es verdadera. (Aquí,\(p\) está la afirmación de que\(z \in A\).) Dado que se trata de una disyunción, podemos volver a utilizar prueba por casos.

\(z \in A\)O bien\(z \notin A\). En el primer caso,\(z \in A \cup (C \setminus A)\). En este último caso,\(z \in C\) y\(z \notin A\), así\(z \in C \setminus A\). Pero entonces\(z \in A \cup (C \setminus A)\).

Nuestra prueba está completa: lo hemos demostrado\(A \cup (C \setminus A) = C\).

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