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Sección 6: Lenguas formales

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    Aquí hay un famoso argumento válido:

    Sócrates es un hombre.
    Todos los hombres son mortales.
    .. Sócrates es mortal.

    Este es un argumento férreo. La única manera de desafiar la conclusión es negando una de las premisas, la forma lógica es impecable. ¿Qué pasa con este siguiente argumento?

    Sócrates es un hombre.
    Todos los hombres son zanahorias.
    .. Sócrates es una zanahoria.

    Este argumento podría ser menos interesante que el primero, porque la segunda premisa es obviamente falsa. No hay un sentido claro en el que todos los hombres sean zanahorias. Sin embargo, el argumento es válido. Para ver esto, observe que ambos argumentos tienen esta forma:

    \(S\)es\(M\).
    Todos los\(M\) s son\(C\).
    .. \(S\)es\(C\).

    En ambos argumentos\(S\) significa Sócrates y\(M\) significa hombre. En el primer argumento,\(C\) significa mortal; en el segundo,\(C\) significa zanahoria. Ambos argumentos tienen esta forma, y cada argumento de esta forma es válido. Por lo que ambos argumentos son válidos.

    Lo que hicimos aquí fue reemplazar palabras como 'hombre' o 'zanahoria' por símbolos como 'M' o 'C' para hacer explícita la forma lógica. Esta es la idea central detrás de la lógica formal. Queremos eliminar las características irrelevantes o que distraen del argumento para hacer que la forma lógica sea más perspicaz.

    Comenzando con un argumento en un lenguaje natural como el inglés, traducimos el argumento a un lenguaje formal. Partes de las frases en inglés se sustituyen por letras y símbolos. El objetivo es revelar la estructura formal del argumento, como hicimos con estos dos.

    Hay lenguajes formales que funcionan como la simbolización que dimos para estos dos argumentos. Una lógica como esta fue desarrollada por Aristóteles, un filósofo que vivió en Grecia durante el siglo IV a.C. Aristóteles fue alumno de Platón y tutor de Alejandro Magno. La lógica de Aristóteles, con algunas revisiones, fue la lógica dominante en el mundo occidental durante más de dos milenios.

    En la lógica aristotélica, las categorías se sustituyen por letras mayúsculas. Cada frase de un argumento se representa entonces como teniendo una de cuatro formas, que los logísticos medievales etiquetaron de esta manera: (A) Todas las\(A\)\(B\) s son s. (E) No\(A\)\(B\) s son s. (I) Algunos\(A\) son\(B\). (O) Algunos no\(A\) lo son\(B\).

    Entonces es posible describir silogismos válidos, argumentos de tres líneas como los dos que consideramos anteriormente. Los logísticos medievales dieron nombres mnemotécnicos a todas las formas de argumento válidas. La forma de nuestros dos argumentos, por ejemplo, se llamaba Bárbara. Las vocales en el nombre, todas As, representan el hecho de que las dos premisas y la conclusión son todas (A) frases de forma.

    Hay muchas limitaciones a la lógica aristotélica. Una es que no hace distinción entre clases e individuos. Entonces la primera premisa bien podría escribirse 'All\(S\) s are\(M\) s': Todos los sócrateses son hombres. A pesar de su importancia histórica, la lógica aristotélica ha sido reemplazada. El resto de este libro desarrollará dos lenguajes formales.

    El primero es SL, que significa lógica sentencial. En SL, las unidades más pequeñas son las propias oraciones. Las oraciones simples se representan como letras y se conectan con conectivos lógicos como 'y' y 'no' para hacer oraciones más complejas.

    El segundo es QL, que significa lógica cuantificada. En QL, las unidades básicas son objetos, propiedades de objetos y relaciones entre objetos.

    Cuando traducimos un argumento a un lenguaje formal, esperamos que su estructura lógica sea más clara. Queremos incluir suficiente de la estructura del argumento del idioma inglés para que podamos juzgar si el argumento es válido o inválido. Si incluyéramos todas las características del idioma inglés, toda la sutileza y matiz, entonces no habría ninguna ventaja en traducir a un idioma formal. Bien podríamos pensar en el argumento en inglés.

    Al mismo tiempo, nos gustaría un lenguaje formal que nos permita representar muchos tipos de argumentos del idioma inglés. Esta es una razón para preferir QL a la lógica aristotélica; QL puede representar cada argumento válido de la lógica aristotélica y más.

    Entonces, al decidir sobre un lenguaje formal, inevitablemente hay una tensión entre querer capturar la mayor cantidad de estructura posible y querer un lenguaje formal simple, los lenguajes formales más simples dejan fuera más. Esto quiere decir que no existe un lenguaje formal perfecto. Algunos harán un mejor trabajo que otros en la traducción de argumentos particulares en idioma inglés.

    En este libro, hacemos la suposición de que verdadero y falso son los únicos valores de verdad posibles. Los lenguajes lógicos que hacen esta suposición se denominan bivalentes, lo que significa de dos valores. La lógica aristotélica, SL y QL son todas bivalentes, pero hay límites para el poder de la lógica bivalente. Por ejemplo, algunos filósofos han afirmado que el futuro aún no está determinado. Si tienen razón, entonces las oraciones sobre lo que será el caso aún no son verdaderas ni falsas. Algunos lenguajes formales acomodan esto al permitir oraciones que no son ni verdaderas ni falsas, sino algo intermedio. Otros lenguajes formales, las llamadas lógicas paraconsistentes, permiten oraciones que son a la vez verdaderas y falsas.

    Las lenguas que se presentan en este libro no son las únicas lenguas formales posibles. Sin embargo, la mayoría de las lógicas no estándar se extienden sobre la estructura formal básica de las lógicas bivalentes discutidas en este libro. Entonces este es un buen lugar para comenzar.

    Resumen de nociones lógicas

    ~Un argumento es (deductivamente) válido si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa; no es válida en caso contrario.
    ~Una tautología es una oración que debe ser verdadera, como cuestión de lógica.
    ~Una contradicción es una frase que debe ser falsa, como cuestión de lógica.
    ~Una sentencia contingente no es ni una tautología ni una contradicción.
    ~Dos oraciones son lógicamente equivalentes si necesariamente tienen el mismo valor de verdad.
    ~Un conjunto de oraciones es consistente si es lógicamente posible que todos los miembros del conjunto sean verdaderos al mismo tiempo; de lo contrario es inconsistente.


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