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Sección 2: Bloques de construcción de QL

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    Así como las oraciones fueron la unidad básica de la lógica sentencial, los predicados serán la unidad básica de la lógica cuantificada. Un predicado es una expresión como 'es un perro'. Esta no es una oración por sí sola. No es ni verdadero ni falso. Para ser verdadero o falso, necesitamos precisar algo: ¿Quién o qué es que es un perro?

    Los detalles de esto se explicarán en el resto del capítulo, pero aquí está la idea básica: En QL, representaremos predicados con mayúsculas. Por ejemplo, podríamos dejar\(D\) reposar '_____ es un perro'. Usaremos letras minúsculas como los nombres de las cosas específicas. Por ejemplo, podríamos dejar\(b\) representar a Bertie. La expresión\(Db\) será una oración en QL. Se trata de una traducción de la frase 'Bertie es un perro'.

    Para representar la estructura cuantificadora, también tendremos símbolos que representen cuantificadores. Por ejemplo, '' significará 'Hay algunos _______. ' Por lo que decir que hay un perro, podemos escribir\(xDx\); es decir: Hay algunos\(x\) tales que\(x\) es un perro.

    Eso vendrá más tarde. Comenzamos definiendo términos y predicados singulares.

    Términos Singulares

    En inglés, un término singular es una palabra o frase que se refiere a una persona, lugar o cosa específica. La palabra 'perro' no es un término singular, porque hay muchos perros. La frase 'El perro de Felipe Bertie' es un término singular, porque se refiere a un pequeño terrier específico.

    Un nombre propio es un término singular que escoge a un individuo sin describirlo. El nombre 'Emerson' es un nombre propio, y el nombre por sí solo no te dice nada sobre Emerson. Por supuesto, algunos nombres se dan tradicionalmente a los niños y otros se dan tradicionalmente a las niñas. Si se usa 'Jack Hathaway' como término singular, se podría adivinar que se refiere a un hombre. Sin embargo, el nombre no significa necesariamente que la persona a la que se hace referencia sea un hombre— o incluso que la criatura a la que se hace referencia sea una persona. Jack podría ser un girae por todo lo que podías decir solo por el nombre. Hay mucha acción filosófica en torno a este tema, pero lo importante aquí es que un nombre es un término singular porque elige a un solo individuo específico.

    Otros términos singulares más obviamente transmiten información sobre lo que se refieren. Por ejemplo, se puede decir sin que se le diga nada más que 'El perro de Felipe Bertie' es un término singular que se refiere a un perro. Una descripción definida escoge a un individuo por medio de una descripción única. En inglés, las descripciones definitivas suelen ser frases de la forma 'tal y tal'. Se refieren a la cosa específica que coincide con la descripción dada. Por ejemplo, 'el miembro más alto de Monty Python' y 'el primer emperador de China' son descripciones definitivas. Una descripción que no seleccione a un individuo específico no es una descripción definite. 'Un miembro de Monty Python' y 'un emperador de China' no son descripciones definitivas.

    Podemos usar nombres propios y descripciones definitivas para elegir lo mismo. El nombre propio 'Mount Rainier' nombra la ubicación seleccionada por la descripción definite 'el pico más alto en el estado de Washington'. Las expresiones se refieren al mismo lugar de manera diferente. No aprendes nada de mi dicho de que voy al monte Rainier, a menos que ya conozcas alguna geografía. Podrías adivinar que es una montaña, quizás, pero incluso esto no es algo seguro; por lo que sabes podría ser una universidad, como Mount Holyoke. Sin embargo, si yo dijera que iba al pico más alto del estado de Washington, sabrías de inmediato que iba a una montaña en el estado de Washington.

    En inglés, la especificación de un término singular puede depender del contexto; 'Willard' significa una persona específica y no sólo alguien llamado Willard; 'P.D. Magnus” como término lógico singular significa yo y no el otro P.D. Magnus. Vivimos con este tipo de ambigüedad en inglés, pero es importante tener en cuenta que los términos singulares en QL deben referirse a una sola cosa específica.

    En QL, simbolizaremos términos singulares con letras minúsculas\(a\) a través de\(w\). Podemos agregar subíndices si queremos usar alguna letra más de una vez. Entonces\(a\),\( b\),\(c\),... \(w\),\(a\) 1,\(f\) 32,\(j\) 390 y\(m\) 12 son todos términos en QL.

    Los términos singulares se llaman constantes porque seleccionan individuos específicos. Tenga en cuenta que\(x\)\(y\),, y no\(z\) son constantes en QL. Serán variables, letras que no representan ninguna cosa específica. Los necesitaremos cuando introduzcamos cuantificadores.

    Predicados

    Los predicados más simples son las propiedades de los individuos. Son cosas que puedes decir de un objeto. '_____ es un perro' y '______ es miembro de Monty Python' son ambos predicados. Al traducir frases en inglés, el término no siempre vendrá al inicio de la oración: 'Un piano cayó sobre ______' también es un predicado. Predicados como estos se llaman de un solo lugar o monádicos, porque solo hay un espacio en blanco para completar. Un predicado de un solo lugar y un término singular se combinan para hacer una oración.

    Otros predicados son sobre la relación entre dos cosas. Por ejemplo, '_____ es mayor que ______', '______ está a la izquierda de ______', y '______ le debe dinero a _____. ' Se trata de predicados de dos lugares o diádicos, porque necesitan ser concretados con dos términos para poder hacer una oración.

    En general, se puede pensar en predicados como oraciones esquemáticas que necesitan ser cumplimentadas con algún número de términos. Por el contrario, puedes comenzar con oraciones y hacer predicados a partir de ellas eliminando términos. Considera la frase, 'Vinnie le pidió prestado el auto familiar a Nunzio'. Al eliminar un término singular, podemos reconocer que esta oración usa cualquiera de los tres predicados monádicos diferentes:

    _____ tomó prestado el auto familiar de Nunzio.
    Vinnie pidió prestado _____ de Nunzio.
    Vinnie tomó prestado el auto familiar a _____.

    Al eliminar dos términos singulares, podemos reconocer tres predicados diádicos diferentes:

    Vinnie tomó prestado _____ de _____.
    _____ tomó prestado el auto familiar de _____.
    _____ prestado _____ de Nunzio.

    Al eliminar los tres términos singulares, podemos reconocer un predicado triádico o triádico:

    _____ prestado _____ de _____.

    Si estamos traduciendo esta frase a QL, ¿deberíamos traducirla con un predicado de uno, dos o tres lugares? Depende de lo que queramos poder decir. Si lo único de lo que discutiremos al ser prestado es el auto familiar, entonces la generalidad del predicado de tres lugares es innecesaria. Si el único préstamo que necesitamos simbolizar es que la gente diferente tome prestado el auto familiar de Nunzio, entonces un predicado de un solo lugar será suficiente.

    En general, podemos tener predicados con tantos lugares como necesitemos. Los predicados con más de un lugar se denominan poliádicos. Los predicados con n lugares, para algún número n, se denominan n-lugar o n-adic.

    En QL, simbolizamos predicados con mayúsculas de la A a la Z, con o sin subíndices. Cuando damos una clave de simbolización para predicados, no usaremos espacios en blanco; en su lugar, usaremos variables. Por convención, las constantes se listan al final de la clave. Entonces podríamos escribir una clave que se vea así:

    Ax:\(x\) está enojado.
    Hx:\(x\) es feliz.
    T 1 xy:\(x\) es tan alto o más alto que\(y\).
    T 2 xy:\(x\) es tan resistente o más duro que\(y\).
    Bxyz:\(y\) es entre\(x\) y\(zy\).
    d: Donald
    g: Gregor
    m: Marybeth

    Podemos simbolizar oraciones que utilicen cualquier combinación de estos predicados y términos. Por ejemplo:

    1. Donald está enojado.
    2. Si Donald está enojado, entonces también lo están Gregor y Marybeth.
    3. Marybeth es al menos tan alta y tan dura como Gregor.
    4. Donald es más bajo que Gregor.
    5. Gregor está entre Donald y Marybeth.

    La frase 1 es sencilla:\(Ad\). El '\(x\)' en la entrada clave '\(Ax\)' es solo un marcador de posición; podemos reemplazarlo por otros términos a la hora de traducir.

    La oración 2 puede parafrasearse como, 'Si\(Ad\), entonces\(Ag\) y '\(Am\). QL tiene todas las conexiones verdad-funcionales de SL, por lo que traducimos esto como\(Ad\) → (\(Ag\)&\(Am\)).

    La oración 3 puede traducirse como\(T\) 1\(mg\) y\(T\) 2\(mg\).

    La oración 4 podría parecer como si requiriese un nuevo predicado. Si tan solo necesitábamos simbolizar esta oración, podríamos define\(Sxy\) a un predicado como que significa '\(x\)es más corto que'\(y\). Sin embargo, esto ignoraría la conexión lógica entre “más corto” y “más alto”. Considerados únicamente como símbolos de QL, no hay conexión entre\(S\) y\(T\) 1. Podrían significar cualquier cosa en absoluto. En lugar de introducir un nuevo predicado, parafraseamos la oración 4 usando predicados que ya están en nuestra clave: 'No es el caso de que Donald sea tan alto o más alto que Gregor'. Podemos traducirlo como ¬\(T\) 1\(dg\).

    La sentencia 5 requiere que prestemos atención cuidadosa al orden de términos en la clave. Se vuelve\(Bdgm\).


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