Sección 08: Pruebas y modelos

Como ya podrías sospechar, existe una conexión entre teoremas y tautologías.

Hay una manera formal de demostrar que una oración es un teorema: Demostrarlo. Para cada línea, podemos verificar si esa línea sigue la regla citada. Puede ser difícil producir una prueba de veinte líneas, pero no es tan difícil verificar cada línea de la prueba y confirmar que es legítima— y si cada línea de la prueba individualmente es legítima, entonces toda la prueba es legítima. Mostrar que una oración es una tautología, sin embargo, requiere razonar en inglés sobre todos los modelos posibles. No hay forma formal de verificar para ver si el razonamiento es sólido. Ante la posibilidad de elegir entre mostrar que una oración es un teorema y mostrar que es una tautología, sería más fácil demostrar que se trata de un teorema.

En contrasentido, no hay forma formal de demostrar que una oración no es un teorema. Tendríamos que razonar en inglés sobre todas las pruebas posibles. Sin embargo, existe un método formal para demostrar que una oración no es una tautología. Solo necesitamos construir un modelo en el que la oración sea falsa. Ante la elección entre mostrar que una oración no es un teorema y demostrar que no es una tautología, sería más fácil demostrar que no es una tautología.

Afortunadamente, una oración es un teorema si y sólo si se trata de una tautología. Si aportamos una prueba de\(\mathcal{A}\) y así demostramos que es un teorema, se deduce que\(\mathcal{A}\) es una tautología; es decir,\(\mathcal{A}\). Del mismo modo, si construimos un modelo en el que\(\mathcal{A}\) es falso y así demostramos que no es una tautología, se deduce que no\(\mathcal{A}\) es un teorema.

En general\(\mathcal{A}\),\(\mathcal{B}\) si y solo\(\mathcal{A}\) si\(\mathcal{B}\). Como tal:

• Un argumento es válido si y sólo si la conclusión es derivable de las premisas.
• Dos oraciones son lógicamente equivalentes si y sólo si son probablemente equivalentes.
• Un conjunto de oraciones es consistente si y sólo si no es demostrablemente inconsistente.

Puedes elegir cuándo pensar en términos de pruebas y cuándo pensar en términos de modelos, haciendo lo que sea más fácil para una tarea determinada. El Cuadro 6.1 resume cuándo es mejor dar pruebas y cuándo es mejor dar modelos.

De esta manera, las pruebas y los modelos nos dan un kit de herramientas versátil para trabajar con argumentos. Si podemos traducir un argumento a QL, entonces podemos medir su peso lógico de una manera puramente formal. Si es deductivamente válido, podemos dar una prueba formal; si es inválida, podemos proporcionar un contraejemplo formal.

	SI	NO
¿Es\(\mathcal{A}\) una tautología?	demostrar\(\mathcal{A}\)	dar un modelo en el que\(\mathcal{A}\) es falso
¿Es\(\mathcal{A}\) una contradicción?	probar ¬\(\mathcal{A}\)	dar un modelo en el que\(\mathcal{A}\) es cierto
¿Es\(\mathcal{A}\) contingente?	dar un modelo en el que\(\mathcal{A}\) es verdadero y otro en el que\(\mathcal{A}\) es falso	probar\(\mathcal{A}\) o ¬\(\mathcal{A}\)
¿Son\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) equivalentes?	\(\mathcal{A}\)probar\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{B}\) y\(\mathcal{A}\)	dar un modelo en el que\(\mathcal{A}\) y\(\mathcal{B}\) tener valores de verdad diferentes
¿El conjunto es\(\mathcal{A}\) consistente?	dar un modelo en el que todas las oraciones en\(\mathcal{A}\) son verdaderas	tomar las sentencias\(\mathcal{A}\), probar\(\mathcal{B}\) y ¬\(\mathcal{B}\)
Es el argumento '\(\mathcal{P}\),.. \(\mathcal{C}\)'¿válido?	\(\mathcal{P}\)demostrar\(\mathcal{C}\)	dar un modelo en el que\(\mathcal{P}\) es verdadero y\(\mathcal{C}\) es falso

Cuadro 6.1: A veces es más fácil mostrar algo aportando pruebas que proporcionando modelos. A veces es al revés. Depende de lo que estés tratando de mostrar.