11.2: Principio de menor acción

Definir la acción\(\mathbb{S}\) como la magnitud de la integral del lagrangiano a lo largo del camino.

\[\mathbb{S}= \left| \int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathcal{L}\left(t, y, \frac{d y}{d t}\right) dt \right| \nonumber \]

Suponiendo que la variable independiente\(t\) representa el tiempo en segundos, la acción tendrá las unidades julios segundos. Para los procesos de conversión de energía, el camino que se encuentra en la naturaleza experimentalmente es el camino que minimiza la acción. Esta idea es conocida como el Principio de la Acción Mínima o a veces como el principio de Hamilton [163, p. 11]. La idea de conservación de la energía está contenida en este principio.

Para encontrar un mínimo o máximo de una función, encuentra donde la derivada de la función es cero. Aquí,\(\mathcal{L}\) y no\(H\) son del todo funciones. En cambio, son funcionales. Una función toma una cantidad escalar como entrada y devuelve una cantidad escalar. Un funcional toma una función como entrada y devuelve una cantidad escalar. Ambos\(\mathcal{L}\) y\(H\) tomar la función\(y(t)\) como entrada y devolver una cantidad escalar en julios. La idea de tomar una derivada y ponerla a cero para encontrar un mínimo sigue siendo útil, pero tenemos que tomar la derivada con respecto a la función\(y(t)\). El proceso de encontrar el máximo o mínimo de un funcional descrito por una relación integral se conoce como cálculo de variaciones.

A menudo es más fácil trabajar con relaciones diferenciales que con relaciones integrales. Podemos expresar el Principio de Acción Mínima como ecuación diferencial, y se llama la ecuación de Euler-Lagrange.

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d y}{d t}\right)}=0 \label{11.2.2} \]

Si\(\mathcal{L}\) se conoce el lagrangiano, podemos simplificar la ecuación de Euler-Lagrange a una ecuación que involucra solo el camino desconocido. La ecuación resultante en términos de trayectoria\(y(t)\) se llama la ecuación de movimiento.

El Lagrangiano proporciona mucha información sobre un proceso de conversión de energía. Si podemos describir la diferencia entre dos formas de energía por un lagrangiano\(\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right)\), podemos establecer la ecuación de Euler-Lagrange. A partir de la ecuación de Euler-Lagrange, podemos encontrar la ecuación del movimiento y resolverla. El camino resultante minimiza la acción y describe cómo el proceso de conversión de energía evoluciona con el tiempo. También podemos encontrar el potencial generalizado del sistema en función del tiempo. La ecuación de Euler-Lagrange es una ley de conservación para el potencial generalizado. Las simetrías de la ecuación del movimiento pueden conducir a nuevas leyes de conservación e invariantes. Estas dos últimas ideas, y las matemáticas detrás de ellas, a menudo se conocen como el teorema de Noether. El teorema de Noether dice que existe una relación muy estrecha entre simetrías ya sea del camino o de la ecuación del movimiento y las leyes de conservación [165] [166]. Estas ideas se discuten más a fondo en la Sec. 14.5.

Observe la mezcla de símbolos derivados parciales y totales en la Ecuación\ ref {11.2.2}. Dado que\(y(t)\) depende de una sola variable independiente, no hay necesidad de utilizar derivados parciales en la expresión\(\frac{dy}{dt}\). El derivado\(\frac{dy}{dt}\) está escrito en notación taquigráfica como\(\dot y\), y\(\ddot y\) puede ser utilizado en lugar de\(\frac{d^2y}{dt^2}\). El lagrangiano\(\mathcal{L}\) depende de tres variables independientes:\(t\),\(y\), y\(\frac{dy}{dt}\). Así, los símbolos derivados parciales se utilizan para indicar qué derivada parcial de\(\mathcal{L}\) se está considerando.

El primer término de la ecuación de Euler-Lagrange\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}\),, es el potencial generalizado definido anteriormente. Las unidades del potencial generalizado son julios sobre unidades de trayectoria,\(\frac{J}{\text{units of path}}\). Cada término de la ecuación de Euler-Lagrange tiene estas unidades. Por ejemplo, si\(y(t)\) está en las unidades de metros, el potencial generalizado es en\(\frac{J}{m}\) o newtons. Cada término de la ecuación de Euler-Lagrange representa una fuerza, y la ecuación de Euler-Lagrange es una relación de conservación sobre las fuerzas. Como otro ejemplo, si el camino\(y(t)\) representa carga en culombios, entonces el potencial generalizado tiene las unidades\(\frac{J}{C}\) que son voltios. La ecuación de Euler-Lagrange en este caso es una relación de conservación sobre los voltajes.