11.4: Ejemplo de Muelle Masivo
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Ejemplos en esta sección y en la siguiente sección ilustrarán cómo podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar la ecuación de movimiento que describe un proceso de conversión de energía. Considere un sistema compuesto por una masa y un resorte donde la energía se transfiere entre la energía potencial del resorte almacenada en el resorte comprimido y la energía cinética de la masa. La masa se especifica porm en kg. Se une a un resorte con resorte constanteK adentroJm2. La posición de la masa se especifica porx(t) dondex es la variable dependiente en metros yt es la variable independiente tiempo en segundos. Supongamos que esta masa y resorte están fijos en un plano nivelado o de alguna otra manera no influenciados por la gravedad. Este sistema de resorte de masa se ilustra en el lado izquierdo de la Fig. 11.4.1. Cuando el resorte se comprime, el sistema gana energía potencial de resorte. Cuando se libera el resorte, la energía se convierte de energía potencial de resorte a energía cinética. Supongamos que no se producen otros procesos de conversión de energía, como el calentamiento debido a la fricción.

El lado derecho de la Fig. 11.4.1muestra el resorte comprimido mantenido en su lugar por un sistema de retención. Porquet<0, el sistema no tiene energía cinética debido a que la masa no se mueve, y el sistema tiene energía potencial en el resorte comprimido. En este momento, la masa está en la posiciónx dondex<0. El resorte ejerce una fuerza sobre la masa,
→Fspring=−Kxˆax
que está en laˆax dirección.
Att=0, se elimina la restricción y la energía potencial de resorte se convierte en energía cinética. La primera forma es la energía potencial de resorte.
Epotentialenergy=12Kx2
La segunda forma es la energía cinética de la masa.
Ekinetic=12m(dxdt)2
En cualquier instante del tiempo, cuando la masa está en el lugarx(t), la energía total es representada por el hamiltoniano.
H=Etotal=Epotentialenergy+Ekinetic
H=12Kx2+12m(dxdt)2
El lagrangiano representa la diferencia entre las formas de energía.
L=Epotentialenergy−Ekinetic
L(t,x,dxdt)=12Kx2−12m(dxdt)2
Tanto el hamiltoniano como el lagrangiano tienen unidades de julios. El potencial generalizado es
∂L∂x=Kx
en unidades de newtons. Tenga en cuenta queKx=−→Fspring. El impulso generalizado es
M=∂L∂(dxdt)=−mdxdt
en unidades de laskg⋅ms cuales son las unidades de impulso.
Ent=0, se quita la restricción. La masa sigue el caminox(t). Si conocemos al lagrangiano, podemos encontrar el camino por ensayo y error. Para encontrar el camino de esta manera, adivina un caminox(t) que sigue la masa y calcula la acción.
S=|∫t2t112m(dxdt)2−12Kx2|dt
Adivina repetidamente otro camino y calcula la acción. El camino con la menor acción de todos los caminos posibles es el camino que sigue la masa. Este camino tiene la menor diferencia entre la energía potencial y la energía cinética integrada a lo largo del tiempo.
Podemos pensar en muchos caminos posibles, pero no físicos,x(t) que la masa puede seguir. La figura11.4.2 ilustra dos rutas no físicas así como la ruta física derivada a continuación. Las rutas se consideran a lo largo del intervalo de tiempo0<t<1. Los tres caminos suponen que inicialmente, ent=0, el resorte se comprime para que la masa esté en su ubicaciónx(0)=−1. También, asumen que al final del intervalo, att=1, el resorte se ha expandido para que la masa esté en su ubicaciónx(1)=1. Los posibles caminos ilustrados en la figura son
x1(t)=2t−1( not physical )
x2(t)=2t2−1( not physical )
y
x3(t)=−cos(πt)( physical )



El caminox1(t) describe un caso en el que la masa viaja a una velocidad constante. La trayectoriax2(t) describe un caso en el que la masa acelera cuando se retira la restricción, y la trayectoriax3(t) describe un caso en el que la masa primero acelera y luego se ralentiza. La acción de cada ruta se puede calcular usando la Ecuación\ ref {11.4.10}. Para fines de ejemplo, seK=π2Jm2 utilizan los valores dem=1kg y. El caminox1(t) tieneS=0.355, el caminox2(t) tieneS=0.364, y el camino físicox3(t) tiene acción ceroS=0. Podemos derivar el camino que minimiza la acción y que se encuentra en la naturaleza usando la ecuación de Euler-Lagrange.
∂L∂x−ddt∂L∂(dxdt)=0
El primer término es el potencial generalizado. El segundo término es la derivada temporal del impulso generalizado. La ecuación del movimiento se encuentra juntando estas piezas.
Kx+md2xdt2=0
El primer término de la ecuación del movimiento es−|→Fspring|. El segundo término representa la aceleración de la masa. Acabamos de encontrar la ecuación del movimiento, y es una declaración de la segunda ley de Newton, la fuerza es la aceleración de masa por tiempos. También es una declaración de conservación de la fuerza sobre la masa.
La ecuación\ ref {11.4.12} es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Es la famosa ecuación de onda, y su solución es bien conocida
x(t)=c0cos(√Kmt)+c1sin(√Kmt)
dondec0 yc1 son constantes determinadas por las condiciones iniciales. Si sujetamos firmemente la masa al resorte, en lugar de dejar que la masa sea expulsada, oscilará como lo describe el caminox(t). La energía se conserva en este sistema. Para verificar la conservación de la energía, podemos demostrar que la energía total no varía con el tiempo. La energía total viene dada por el hamiltoniano de la Ecuación\ ref {11.4.5}. En este ejemplo, tanto el hamiltoniano como el lagrangiano no dependen explícitamente del tiempo,∂H∂t=0 y∂L∂t=0. En cambio, sólo dependen de los cambios en el tiempo. Por esta razón, decimos que tanto la energía total como la lagrangiana tienen simetría de traducción de tiempo, o decimos que son invariantes en el tiempo. La primavera y la masa se comportan igual hoy, una semana a partir de hoy, y un año a partir de hoy.
También podemos verificar la conservación de la energía algebraicamente demostrando esodHdt=0.
dHdt=∂H∂t+∂H∂xdxdt+∂H∂(dxdt)d2xdt2
dHdt=0+Kxdxdt+mdxdtd2xdt2
dHdt=dxdt(Kx+md2xdt2)=0
Observe que la cantidad entre paréntesis en la línea anterior debe ser cero a partir de la ecuación de movimiento. La ecuación de Euler-Lagrange se puede dividir en un par de ecuaciones diferenciales de primer orden llamadas ecuaciones de Hamilton.
dMdt=−∂H∂x and dxdt=∂H∂M
Este ejemplo se resume en la Tabla11.4.1. En analogía con el lenguaje utilizado para describir los circuitos y la electromagnetica, la relación entre la trayectoria generalizada y el potencial generalizado se conoce como la relación constitutiva. Siguiendo la Ecuación 11.1.6, la relación entre la trayectoria generalizada y el potencial generalizado es la capacidad generalizada, y en este ejemplo, es la inversa de la constante de resorte. Si bienx se supone que el desplazamiento es escalar, el vector→x se usa en la tabla para generalidad.
Dispositivo de almacenamiento de energía | Muelle lineal |
---|---|
Ruta Generalizada | Desplazamiento→x en m |
Potencial Generalizado | →FFuerza enJm=N |
Capacidad Generalizada | 1Kenm2J |
Relación constitutiva | →x=1K→F |
Energía | 121K|→x|2=12K|→F|2 |
Ley para el potencial | Segunda Ley de Newton→F=m→a |