11.6: Ecuación de Schrödinger

La mecánica cuántica es el estudio de sistemas microscópicos como electrones o átomos. El cálculo de las variaciones y la idea de un hamiltoniano son ideas fundamentales de la mecánica cuántica [136]. En el Capítulo 13, aplicamos las ideas de cálculo de variaciones a un átomo individual de manera semiclásica.

Nunca podemos decir con certeza dónde se localiza un electrón u otra partícula microscópica o su energía. Sin embargo, podemos discutir la probabilidad de encontrarlo con una energía específica. La probabilidad de encontrar un electrón, por ejemplo, en un estado de energía particular se especifica por\(|\psi|^2\) donde\(\psi\) se llama la función de onda [136]. Como con cualquier probabilidad\(0 \leq |\psi|^2 \leq 1\).

Por ejemplo, supongamos que a medida que un electrón se mueve, la energía cinética se convierte en energía potencial. El hamiltoniano mecánico cuántico\(H_{QM}\) es entonces la suma de la energía cinética\(E_{kinetic}\) y la energía potencial\(E_{potential\, energy}\).

\[H_{Q M}=E_{k i n e t i c}+E_{potential\, energy} \nonumber \]

La energía cinética se expresa como

\[E_{kinetic}=\frac{1}{2 m}\left(M_{Q M}\right)^{2} \nonumber \]

donde\(m\) está la masa de un electrón. En la expresión anterior,\(M_{QM}\) se encuentra el operador de impulso mecánico cuántico, y

\[\left(M_{Q M}\right)^{2}=M_{Q M} \cdot M_{Q M}. \nonumber \]

El operador de impulso mecánico cuántico se define por

\[M_{Q M}=j \hbar \overrightarrow{\nabla} \label{11.6.4} \]

donde la cantidad\(\hbar\) es la constante de Planck dividida por\(2\pi\). El operador del,\(\overrightarrow{\nabla}\), se introdujo en la Sec. 1.6.1, y representa la derivada espacial de una función. Las cantidades\(H_{QM}\),\(M_{QM}\), y\(\overrightarrow{\nabla}\) son todos operadores, no solo valores. Un operador, como el operador derivado d dt, actúa sobre una función. No es en sí una función ni un valor.

Usando la definición de momentum de la Ecuación\ ref {11.6.4} y la identidad vectorial de la Ecuación 1.6.8, podemos reescribir el hamiltoniano.

\[H_{Q M}=\frac{-\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+E_{potential\, energy} \nonumber \]

En la mecánica cuántica, el hamiltoniano está relacionado con la energía total.

\[H_{Q M} \psi=E_{t o t a l} \psi \nonumber \]

Las dos ecuaciones anteriores se pueden combinar algebraicamente.

\[\left(\frac{-\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+E_{potential\, energy}\right) \psi=E_{total} \psi \label{11.6.7} \]

Con un poco más de álgebra, la Ecuación\ ref {11.6.7} puede ser reescrita.

\[\nabla^{2} \psi+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{total}-E_{potential\, energy}\right) \psi=0 \label{11.6.8} \]

La ecuación\ ref {11.6.8} es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y es una de las ecuaciones más fundamentales en la mecánica cuántica. Los diagramas de nivel de energía se introdujeron en la Sección 6.2. Las energías permitidas ilustradas por diagramas de nivel de energía satisfacen la ecuación de Schrödinger. Al menos para átomos simples y energías de estado fundamental, los diagramas de nivel de energía se pueden derivar resolviendo la ecuación de Schrödinger.