11.6: Ecuación de Schrödinger
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
La mecánica cuántica es el estudio de sistemas microscópicos como electrones o átomos. El cálculo de las variaciones y la idea de un hamiltoniano son ideas fundamentales de la mecánica cuántica [136]. En el Capítulo 13, aplicamos las ideas de cálculo de variaciones a un átomo individual de manera semiclásica.
Nunca podemos decir con certeza dónde se localiza un electrón u otra partícula microscópica o su energía. Sin embargo, podemos discutir la probabilidad de encontrarlo con una energía específica. La probabilidad de encontrar un electrón, por ejemplo, en un estado de energía particular se especifica por|ψ|2 dondeψ se llama la función de onda [136]. Como con cualquier probabilidad0≤|ψ|2≤1.
Por ejemplo, supongamos que a medida que un electrón se mueve, la energía cinética se convierte en energía potencial. El hamiltoniano mecánico cuánticoHQM es entonces la suma de la energía cinéticaEkinetic y la energía potencialEpotentialenergy.
HQM=Ekinetic+Epotentialenergy
La energía cinética se expresa como
Ekinetic=12m(MQM)2
dondem está la masa de un electrón. En la expresión anterior,MQM se encuentra el operador de impulso mecánico cuántico, y
(MQM)2=MQM⋅MQM.
El operador de impulso mecánico cuántico se define por
MQM=jℏ→∇
donde la cantidadℏ es la constante de Planck dividida por2π. El operador del,→∇, se introdujo en la Sec. 1.6.1, y representa la derivada espacial de una función. Las cantidadesHQM,MQM, y→∇ son todos operadores, no solo valores. Un operador, como el operador derivado d dt, actúa sobre una función. No es en sí una función ni un valor.
Usando la definición de momentum de la Ecuación\ ref {11.6.4} y la identidad vectorial de la Ecuación 1.6.8, podemos reescribir el hamiltoniano.
HQM=−ℏ22m∇2+Epotentialenergy
En la mecánica cuántica, el hamiltoniano está relacionado con la energía total.
HQMψ=Etotalψ
Las dos ecuaciones anteriores se pueden combinar algebraicamente.
(−ℏ22m∇2+Epotentialenergy)ψ=Etotalψ
Con un poco más de álgebra, la Ecuación\ ref {11.6.7} puede ser reescrita.
∇2ψ+2mℏ2(Etotal−Epotentialenergy)ψ=0
La ecuación\ ref {11.6.8} es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y es una de las ecuaciones más fundamentales en la mecánica cuántica. Los diagramas de nivel de energía se introdujeron en la Sección 6.2. Las energías permitidas ilustradas por diagramas de nivel de energía satisfacen la ecuación de Schrödinger. Al menos para átomos simples y energías de estado fundamental, los diagramas de nivel de energía se pueden derivar resolviendo la ecuación de Schrödinger.