13.2: Ideas Preliminares

Derivadas e Integrales de Vectores en Coordenadas Esféricas

La derivación de la ecuación de Thomas Fermi implica derivados de vectores en coordenadas esféricas. Para más detalles sobre derivados y vectores véase [11, ch. 1]. Considerar una función escalar descrita en coordenadas esféricas,

\[V=V(\overrightarrow{r})=V(r, \theta, \phi). \nonumber \]

Se define el\(V (r, \theta, \phi)\) gradiente de

\[\overrightarrow{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \hat{a}_{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} \hat{a}_{\theta}+\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial V}{\partial \phi} \hat{a}_{\phi}. \nonumber \]

El gradiente se introdujo en la Sección 1.6.1. Devuelve un vector que apunta en la dirección del mayor cambio en la función. El Laplaciano se define en coordenadas esféricas como

\[\nabla^{2} V=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} V}{\partial \phi^{2}}. \nonumber \]

Cualitativamente, el Laplaciano de un escalar es la segunda derivada con respecto a la posición espacial. En las derivaciones de este capítulo, nos encontramos únicamente con funciones que son uniformes con respecto a\(\theta\) y\(\phi\). Para funciones de la forma\(V = V (r)\), las fórmulas para gradiente y Laplacian simplifican significativamente.

\[\overrightarrow{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \hat{a}_{r} \nonumber \]

\[\nabla^{2} V=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}\right) \nonumber \]

También necesitaremos la identidad vectorial de la Ecuación 1.6.8,

\[\nabla^{2} V=\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\nabla} V. \nonumber \]

Un elemento de volumen diferencial en coordenadas esféricas viene dado por

\[d \mathbb{V}=r^{2} \sin \theta \;d r \;d \theta \;d \phi. \nonumber \]

Se denota una integral de volumen de la función\(V (r, \theta, \phi)\) sobre una esfera de radio 1 centrada en el origen

\[\int_{r=0}^{1} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2 \pi} V(r, \theta, \phi) r^{2} \sin \theta \;d r \;d \theta \;d \phi. \nonumber \]

Asumiendo que\(V\) no depende de\(\theta\) o\(\phi\), la integral es separable.

\[\left(\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2 \pi} \sin \theta \;d \theta \;d \phi\right) \int_{r=0}^{1} V(r) r^{2} d r=4 \pi \int_{r=0}^{1} V(r) r^{2} d r \nonumber \]

Una esfera de radio\(r\) tiene volumen\(\frac{4}{3}\pi r^3\).

Notación

Escribir este texto sin sobrecargar variables ha sido un reto. Por ejemplo,\(V\) es la opción lógica para denotar voltaje, volumen y velocidad. Hasta ahora, el contexto ofrecía pistas sobre el significado de los símbolos. Sin embargo, en este capítulo, encontraremos ecuaciones que involucran tanto energía como campo eléctrico, ecuaciones que involucran tanto voltaje como volumen, y ecuaciones que involucran tanto masa como impulso. Para ayudar a evitar confusiones de la notación, Table\(\PageIndex{1}\) muestra un extracto de la lista de variables del Apéndice A. Esta tabla no enumera todas las cantidades que encontraremos. No obstante, destaca algunas de las más confusas.

En este capítulo, encontraremos muchas cantidades que varían con la posición. No encontraremos ninguna cantidad que varíe con el tiempo. Por lo tanto, el voltaje se denota con una letra mayúscula, no una letra minúscula. El voltaje es una función de\(r\), que denota posición en coordenadas esféricas. Supongamos que el origen del sistema de coordenadas está en el centro del átomo bajo consideración. El voltaje siempre se especifica con respecto a algún nivel de referencia llamado tierra, así que suponga que este nivel de referencia de cero voltios ocurre en\(r = \infty\). También supongamos que no hay\(\theta\) o\(\phi\) dependencia de la tensión. Por lo tanto,\(V (\overrightarrow{r}) = V (r)\) representa voltaje.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Lista de variables.

Símbolo	Cantidad	Unidades SI	S/V/C	Comentarios
\(E\)	Energía	J = Nm	S
\(\overrightarrow{E}\)	Intensidad de campo eléctrico	\(\frac{V}{m}\)	V
\(E_f\)	Nivel de energía Fermi	J	S	También llamado nivel Fermi
\(\vec{k}\)	Vector de onda	\(m^{-1}\)	V
\(k_f\)	Vector de onda fermi	\(m^{-1}\)	S
\(m\)	Masa	kg	S
\(\mathbb{M}\)	Impulso generalizado	*	S	Muchos autores utilizan\(p\)
\(\overrightarrow{M}\)	Momentum	\(\frac{kg \cdot m}{s}\)	V	Muchos autores utilizan\(\overrightarrow{p}\)
\(N\)	(Total) número de electrones por átomo	\(\frac{\text{elections}}{\text{atom}}\)	S
\(v\)	Voltaje (CA o tiempo variable)	V	S
\(\vec{v}\)	Velocity	\(\frac{m}{s}\)	V
\(V\)	Voltaje (CC)	V	S
\(\mathbb{V}\)	Volumen	\(m^3\)	S
\(\mu_{chem}\)	Potencial químico	\(\frac{J}{\text{atom}}\)	S
\(\rho_{ch}\)	Densidad de carga	\(\frac{C}{m^3}\)	S

Conceptos de espacio recíproco

La idea de espacio recíproco se introdujo en la Sección 6.3 en el contexto de los materiales cristalinos. Podemos describir la ubicación de los átomos en un cristal, por ejemplo, en función de la posición donde la posición\(\overrightarrow{r}\) se mide en metros. En este capítulo, nos interesan los átomos individuales en lugar de los cristales compuestos por muchos átomos. Podemos trazar cantidades como energía\(E (\overrightarrow{r})\) o voltaje\(V (\overrightarrow{r})\) en función de la posición. La Figura 6.4.2, por ejemplo, representa la energía frente a la posición dentro de un diodo. En la Sección 6.3 se\(m^{-1}\) introdujo la idea de vector de onda\(\overrightarrow{k}\) en unidades de. El vector de onda representa la frecuencia espacial. Vimos que podíamos trazar energía u otras cantidades en función del vector de onda, y la Fig 6.3.1 es un ejemplo de dicha gráfica. Vamos a necesitar la idea de vector de onda en este capítulo porque describimos una situación en la que no sabemos cómo varía la energía con la posición, pero sí sabemos algo sobre cómo varía la energía con el vector de onda.