5.3: Resultados desconocidos

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Paul Penfield, Jr.
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Si el símbolo aún no ha sido seleccionado, o aún no conoce el resultado, entonces a cada uno se le\(p(A)\) puede dar un número entre 0 y 1, números más altos que representan una mayor creencia de que este evento sucederá, y números más bajos que representan una creencia de que este evento probablemente no sucederá. Si estás seguro de que algún evento\(A\) es imposible entonces\(p(A)\) = 0. Si y cuando se aprende el resultado, cada uno se\(p(A)\) puede ajustar a 0 o 1. Nuevamente tenga en cuenta que\(p(A)\) depende de su estado de conocimiento y por lo tanto es subjetivo.

Las formas en que estos números deben asignarse para expresar mejor nuestros conocimientos se desarrollarán en capítulos posteriores. Sin embargo, sí requerimos que obedezcan los axiomas fundamentales de la teoría de la probabilidad, y los llamaremos probabilidades (el conjunto de probabilidades que se aplican a una partición se llamará distribución de probabilidad). Por definición, para cualquier evento\(A\)

\(0 \leq p(A) \leq 1 \tag{5.1}\)

En nuestro ejemplo, podemos caracterizar entonces nuestra comprensión del género de un estudiante de primer año aún no seleccionado (o aún no conocido) en términos de la probabilidad de\(p(W)\) que la persona seleccionada sea una mujer. De igual manera,\(p(CA)\) podría denotar la probabilidad de que la persona seleccionada sea de California.

Para ser consistente con la teoría de la probabilidad, si algún evento\(A\) ocurre solo al ocurrir cualquiera de ciertos otros eventos\(A_i\) que son mutuamente excluyentes (por ejemplo, porque son de una partición) entonces\(p(A)\) es la suma de los diversos\(p(A_i)\) de esos eventos:

\(p(A) = \displaystyle \sum_{i} p(A_i) \tag{5.2}\)

donde\(i\) se encuentra un índice sobre los eventos en cuestión. Esto implica que para cualquier partición, ya que\(p(\text{universal event})\) = 1,

\(1 = \displaystyle \sum_{i} p(A_i) \tag{5.3}\)

donde la suma aquí está sobre todos los eventos en la partición.