Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

5.4: Eventos conjuntos y probabilidades condicionales

  • Page ID
    82125
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Te puede interesar la probabilidad de que el símbolo elegido tenga dos propiedades diferentes. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante de primer año elegido sea una mujer de Texas? ¿Podemos encontrar esto,\(p(W, TX)\), si conocemos la probabilidad de que la elección sea una mujer,\(p(W)\), y la probabilidad de que la elección sea de Texas,\(p(TX)\)?

    No en general. Podría ser que 47% de los estudiantes de primer año sean mujeres, y podría ser que (digamos) el 5% de los estudiantes de primer año son de Texas, pero esos hechos por sí solos no garantizan que haya mujeres de primer año de Texas, y mucho menos cuántas podría haber.

    Sin embargo, si se sabe o se supone que los dos eventos son independientes (la probabilidad de que uno no dependa de si ocurre el otro evento), entonces se puede encontrar la probabilidad de que el evento conjunto (ambos ocurran). Es producto de las probabilidades de los dos eventos. En nuestro ejemplo, si se sabe que el porcentaje de mujeres entre los estudiantes de primer año de Texas es el mismo que el porcentaje de mujeres entre todos los estudiantes de primer año, entonces

    \(p(W, TX) = p(W)p(TX) \tag{5.4}\)

    Dado que es inusual que dos eventos sean independientes, se necesita una fórmula más general para eventos conjuntos. Esta fórmula hace uso de “probabilidades condicionales”, que son probabilidades de un evento dado que se sabe que ocurrió otro evento. En nuestro ejemplo, la probabilidad condicional de que la selección sea mujer, dado que el estudiante de primer año seleccionado es de Texas, se denota\(p(W | TX)\) donde la barra vertical, que se lee “dada”, separa los dos eventos: el evento condicionamiento a la derecha y el evento condicionado a la izquierda. Si los dos eventos son independientes, entonces la probabilidad del evento condicionado es la misma que su probabilidad normal, o “incondicional”.

    En términos de probabilidades condicionales, la probabilidad de un evento conjunto es la probabilidad de uno de los eventos multiplicada por la probabilidad del otro evento dado que el primer evento ha ocurrido:

    \(\begin{align*} p(A, B) & = p(B)p(A \;|\; B) \\ & = p(A)p(B \;| \;A) \tag{5.5} \end{align*} \)

    Tenga en cuenta que cualquiera de los eventos se puede utilizar como evento condicionamiento, por lo que hay dos fórmulas para esta probabilidad conjunta. Usando estas fórmulas puedes calcular una de las probabilidades condicionales de la otra, aunque no te importe la probabilidad conjunta.

    A esta fórmula se le conoce como Teorema de Bayes, después de Thomas Bayes, el matemático inglés del siglo XVIII que la articuló por primera vez. Utilizaremos el Teorema de Bayes frecuentemente. Este teorema tiene notable generalidad. Es cierto si los dos eventos están relacionados física o lógicamente, y es cierto si no lo están. Es cierto si un evento causa al otro, y es cierto si ese no es el caso. Es cierto si se conoce el desenlace, y es cierto si no se conoce el desenlace.

    Así, la probabilidad de\(p(W, TX)\) que el estudiante elegido sea una mujer de Texas es la probabilidad de\(p(TX)\) que se elija a un estudiante de Texas, multiplicado por la probabilidad de\(p(W | TX)\) que se elija a una mujer dado que la elección es tejana. También es la probabilidad de\(P(W)\) que se elija a una mujer, multiplicada por la probabilidad de\(p(TX | W)\) que se elija a alguien de Texas dado que la elección es una mujer.

    \(\begin{align*} p(W, TX) & = p(TX)p(W \;|\; TX) \\ & = p(W)p(TX \;|\; W) \tag{5.6} \end{align*} \)

    Como otro ejemplo, considere la tabla de estudiantes anterior, y asuma que uno es escogido de toda la población estudiantil “al azar” (es decir, con igual probabilidad para todos los estudiantes individuales). ¿Cuál es la probabilidad de\(p(M, G)\) que la elección sea un estudiante de posgrado masculino? Esta es una probabilidad conjunta, y podemos usar el Teorema de Bayes si podemos descubrir la probabilidad condicional necesaria.

    La partición fundamental en este caso son los 10,206 eventos fundamentales en los que se elige a un alumno en particular. La suma de todas estas probabilidades es 1, y por supuesto todas son iguales, por lo que cada probabilidad es 1/10,220 o aproximadamente 0.01%.

    La probabilidad de que la selección sea un estudiante de posgrado\(p(G)\) es la suma de todas las probabilidades de los 048 eventos fundamentales asociados a los estudiantes de posgrado, por lo que\(p(G)\) = 6,048/10,220.

    Dado que la selección es un estudiante de posgrado, ¿cuál es la probabilidad condicional de que la elección sea un hombre? Ahora nos fijamos en el conjunto de estudiantes de posgrado y la selección de uno de ellos. La nueva partición fundamental son las 6,048 opciones posibles de un estudiante de posgrado, y vemos en la tabla anterior que 4 mil 226 de éstas son hombres. Las probabilidades de esta nueva selección (condicional) se pueden encontrar de la siguiente manera. La elección original fue “al azar” por lo que todos los estudiantes tenían la misma probabilidad de haber sido seleccionados. En particular, todos los estudiantes de posgrado tenían la misma probabilidad de haber sido seleccionados, por lo que las nuevas probabilidades serán las mismas para todos los 6,048. Dado que su suma es 1, cada probabilidad es 1/6,048. El evento de seleccionar a un hombre se asocia con 4,226 de estos nuevos eventos fundamentales, por lo que la probabilidad condicional\(p(M | G)\) = 4,226/6,048. Por lo tanto del Teorema de Bayes:

    \[\begin{align*} p(M, G) & = p(G)p(M \;|\; G) \\ & = \dfrac{6,048}{10,220} \times \dfrac{4,226}{6,048} \\ & = \dfrac{4,226}{10,220} \tag{5.7} \end{align*} \]

    Este problema se puede abordar al revés: la probabilidad de elegir un hombre es p (M) = 6,541/10,220 y la probabilidad de que la elección sea un estudiante de posgrado dado que es un hombre es p (G | M) = 4,226/6,541 entonces (por supuesto la respuesta es la misma)

    \[\begin{align*} p(M, G) & = p(M)p(G \;|\; M) \\ & = \dfrac{6,541}{10,220} \times \dfrac{4,226}{6,541} \\ & = \dfrac{4,226}{10,220} \tag{5.8} \end{align*} \]


    This page titled 5.4: Eventos conjuntos y probabilidades condicionales is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Paul Penfield, Jr. (MIT OpenCourseWare) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.