10.2: Introducción a la Mecánica Cuántica

Quizás la primera pregunta que hay que hacer sobre un objeto físico es, “¿dónde está?” En la experiencia cotidiana, es posible responder esa pregunta con gran precisión, limitada únicamente por la calidad del aparato de medición. En el ámbito de los objetos muy pequeños, sin embargo, existen algunas limitaciones fundamentales y se debe utilizar la mecánica cuántica para abordar esa cuestión.

En su esencia, la mecánica cuántica se ocupa de la energía. Debido a la equivalencia de masa y energía (recuerde la famosa fórmula de Einstein\(E = mc^2\) donde\(c\) está la velocidad de la luz,\(2.998 × 10^8\) metros por segundo) la mecánica cuántica también trata de partículas con masa. Y debido a la relación entre la energía de un fotón y su frecuencia (\(E = hf\)donde\(h\) está la constante de Planck,\(6.626 × 10^{−34}\) Julio-segundos) la mecánica cuántica se ocupa de los fotones.

Según la mecánica cuántica, la pregunta “dónde está” no puede responderse con certeza. ¿Cómo lidiamos con la incertidumbre? Asignando probabilidades. Es un poco más complicado por la naturaleza continua del espacio, y porque el espacio se considera infinito en extensión (al menos si se ignora la relatividad general), pero la idea es la misma que para las probabilidades de un conjunto finito de eventos. La densidad de probabilidad es no negativa, y se integra sobre todo el espacio a 1 (esto es como la suma de las probabilidades de todos los eventos que son mutuamente excluyentes y exhaustivos sumando hasta 1).

Así, en la mecánica cuántica, un objeto se representa como una “mancha de probabilidad” que evoluciona con el tiempo. ¿Cómo evoluciona? La ecuación subyacente no se escribe en términos de la densidad de probabilidad, sino en términos de otra función del espacio y el tiempo a partir de la cual se puede encontrar la densidad de probabilidad.

Considerar la raíz cuadrada de la densidad de probabilidad, en función del espacio y el tiempo. Entonces, para mayor generalidad, deja que la raíz cuadrada sea positiva o negativa—cuando la cuadradices para obtener la densidad de probabilidad, cualquiera de las dos va a hacer. A continuación, para aún más generalidad, permitir que esta raíz cuadrada tenga una fase arbitraria en el plano complejo, de manera que tenga tanto una parte real como una imaginaria. Ya no llamaremos a esto la raíz cuadrada, sino la “función de onda”\(\psi(r, t)\) que es una función de valor complejo del espacio\(r\) y el tiempo\(t\). La densidad de probabilidad es entonces la magnitud de la función de onda al cuadrado

\(|\psi(r, t)|^2 = \psi(r, t)\psi ^* (r, t) \tag{10.1}\)

donde el asterisco * denota el conjugado complejo.

Al tratar antes las probabilidades, nunca las expresamos en términos de algo más primitivo. ¿Por qué tenemos que hacerlo ahora? Porque la ecuación fundamental de la mecánica cuántica trata\(\psi (r, t)\) más que de la densidad de probabilidad. ¿Por qué es esto? No preguntes. Es solo una de las muchas características extrañas de la mecánica cuántica.

La ecuación fundamental de la mecánica cuántica es la ecuación de Schrödinger, publicada en 1926 por el físico austriaco Erwin Schrödinger (1887—1961). \(^1\)

donde\(i\) está la raíz cuadrada (imaginaria) de -1,\(m\) es la masa de este objeto,\(V(r)\) es la función de energía potencial, y\(\hbar = h/2\pi = 1.054 × 10^{−34}\) Julio-segundos. Tenga en cuenta que esta ecuación contiene derivadas parciales tanto en el espacio como en el tiempo. La derivada con respecto al tiempo es de primer orden, y las derivadas espaciales son de segundo orden. El Laplaciano\(\nabla ^2\) se define como

\(\nabla ^2f = \dfrac {\partial ^2 f}{\partial x^2} + \dfrac {\partial ^2 f}{\partial y^2} + \dfrac {\partial ^2 f}{\partial z^2} \tag{10.3}\)

donde\(x\),\(y\), y\(z\) son las tres dimensiones espaciales.

Esta ecuación 10.2 se interpreta frecuentemente multiplicando ambos lados de la misma por\(\psi ^*(r, t)\) e integrándose sobre el espacio. Entonces el lado izquierdo se identifica como la energía total, y el lado derecho como la suma de las energías cinética y potencial (asumiendo que la función de onda se normaliza de manera que la integral espacial de\(|\psi (r, t)|^2\) es 1, una propiedad requerida para la interpretación en términos de una densidad de probabilidad). Junto con esta interpretación es conveniente llamar\(i\hbar \partial/\partial t\) al operador energético. Es un operador en el sentido matemático (algo que opera sobre una función y produce como resultado una función) y tiene las unidades dimensionales correctas para ser energía. La mecánica cuántica a menudo se formula en términos de operadores similares.

La ecuación de Schrödinger es engañosamente simple. Es una ecuación lineal\(\psi (r, t)\) en el sentido de que si ambos\(\psi_1\) y\(\psi_2\) son soluciones entonces también lo es cualquier combinación lineal de ellos

\(\psi_{\text{total}} = \alpha_1 \psi_1 + \alpha_2 \psi_2 \tag{10.4}\)

donde\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\) son constantes complejas (si la combinación lineal va a conducir a una distribución de probabilidad válida entonces los valores de\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\) deben ser tales que la integral sobre todo el espacio de\(|\psi_{\text{total}}|^2\) es 1). Sin embargo, a excepción de los casos más simples de\(V(r)\) la ecuación no se ha resuelto en forma cerrada.

Estrictamente hablando, la ecuación de Schrödinger es realmente solo correcta si el objeto que se describe es el universo entero y\(V(r)\) = 0, en cuyo caso la ecuación es inútil porque es muy complicada. Sin embargo, a menudo se utiliza como aproximación en el caso en que el universo se considera en dos partes: una pequeña (el objeto) cuya función de onda se está calculando, y el resto del universo (el “entorno”) cuya influencia sobre el objeto se supone que está representada por el\(V (r)\) término. Tenga en cuenta que el objeto puede ser un solo fotón, un solo electrón, o dos o más partículas, es decir, no necesita corresponder al concepto cotidiano de una sola partícula.

Un objeto podría interactuar con su entorno. Naturalmente, si el objeto cambia su entorno (como sucedería si se hiciera una medición de alguna propiedad del objeto) entonces el entorno a su vez cambiaría el objeto. Por lo tanto, después de una medición, un objeto generalmente tendrá una función de onda diferente, y es posible que ya no sea accesible alguna información sobre el objeto. Es una característica de la mecánica cuántica que esta nueva función de onda sea consistente con los cambios en el entorno; no está claro si esta característica es consecuencia de la ecuación de Schrödinger o es un aspecto separado de la mecánica cuántica.

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\(^1\)See a biography of Schrödinger at mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schrödinger/