10.3: Estados estacionarios

Si bien, para un\(V (r)\) término dado, la ecuación de Schrödinger puede ser imposible de resolver en forma cerrada, se puede decir mucho sobre la naturaleza de sus soluciones sin conocerlas en detalle. Esto se hace expresando\(\psi (r, t)\) como una suma de funciones conocidas como estados estacionarios.

Los estados estacionarios son por definición soluciones de la ecuación de Schrödinger que son de una forma particular, es decir, el producto de una función del espacio-veces otra función del tiempo. Se puede demostrar fácilmente a partir de la ecuación de Schrödinger que la forma más general que pueden tener los estados estacionarios es

\(\psi (r, t) = \phi (r)e^{-iEt/ \hbar} \tag{10.5}\)

para alguna constante real\(E\) (real porque de otra manera\(\psi (r, t)\) crecería sin límite por tiempo muy grande o muy pequeño), donde\(\phi (r)\) obedece la ecuación (no involucrando tiempo)

y donde la integral sobre todo el espacio de\(|\phi(r)|^2\) es 1. Esta técnica de separar la\(\psi (r, t)\) dependencia de sus dos variables\(r\) y a veces\(t\) se denomina “separación de variables”.

No se\(\phi (r)\) pueden obtener soluciones distintas de cero para todos los valores de\(E\). Puede haber algunos rangos en los que cualquier valor de\(E\) es OK y otros rangos en los que solo valores discretos específicos de\(E\) conducen a funciones de onda distinta de cero. En términos generales, las soluciones correspondientes a valores discretos\(E\) se vuelven pequeñas y lejanas (es decir, “desaparecen al infinito”) y, por lo tanto, se localizan en el espacio, aunque sus “manchas de probabilidad” pueden tener valores grandes en varios lugares y, por lo tanto, podrían considerarse como que representan dos o más partículas.

Estas soluciones se denominan “estados estacionarios” porque la magnitud de la función de onda (y por lo tanto también la densidad de probabilidad) no cambia en el tiempo; es solo una función del espacio.

Para estos estados estacionarios,\(E\) tiene una interpretación interesante. Si multiplicamos cada lado de la Ecuación 10.6 por\(\phi ^*(r)\) e integramos sobre el espacio, vemos que (al igual que en la sección anterior) E es la suma de dos términos del lado derecho, interpretados como las energías cinéticas y potenciales del objeto. Así\(E\) es la energía total asociada a esa solución.

Por supuesto que en general las soluciones a la ecuación de Schrödinger con este potencial no\(V (r)\) son estados estacionarios, es decir, no tienen la forma especial de la Ecuación 10.5. Pero recuerde que cualquier combinación lineal de soluciones a la ecuación de Schrödinger también es una solución. Podemos usar estos estados estacionarios como bloques de construcción para generar soluciones más generales.

Estamos más interesados en los estados estacionarios que se localizan en el espacio, de manera que los valores permitidos de\(E\) son discretos, aunque podría haber muchos de ellos (quizás incluso un número infinito contable). Si dejamos\(j\) ser un índice sobre los estados estacionarios, entonces es posible definir las funciones de onda resultantes para\(\psi_j (r, t)\) que ambas estén “normalizadas” en el sentido de que la integral espacial de la magnitud de cada cuadrado es 1 y “ortogonal” en el sentido de que el producto de cualquiera con el complejo conjugado de otro es cero cuando se integra en todo el espacio. Entonces denotaremos los valores de\(E\), que hemos interpretado como la energía asociada a ese estado, por\(e_j\).

Luego, las soluciones generales a la ecuación de Schrödinger se escriben como una combinación lineal de estados estacionarios

\(\psi (r, t) = \displaystyle \sum_{j} a_j \phi_j (r) e^{-ie_jt/\hbar} \tag{10.7}\)

donde\(a_j\) se conocen como coeficientes de expansión, y pueden ser complejos. Si la función de onda\(\psi(r, t)\) se normaliza, entonces se demuestra fácilmente que

\(1 = \displaystyle \sum_{j} | a_j |^2 \tag{10.8}\)

y que la energía asociada a la función puede escribirse en términos de la\(e_j\) como

\(\displaystyle \sum_{j} e_j| a_j |^2 \tag{10.9}\)

A partir de estas relaciones observamos que\(|a_j |^2\) se comporta como una distribución de probabilidad sobre los eventos consistentes en los diversos estados que se están ocupando, y que esta distribución puede ser utilizada para calcular la energía promedio asociada al objeto.

La conclusión de nuestra breve excursión a la mecánica cuántica es justificar el modelo multiestatal dado en la siguiente sección. Aquellos lectores que estuvieron dispuestos a aceptar este modelo sin ninguna explicación se han saltado las dos últimas secciones y ahora se están reincorporando a nosotros.