12.1: Básculas de Temperatura

Un motor térmico es una máquina que extrae calor del ambiente y produce trabajo, típicamente en forma mecánica o eléctrica. Como veremos, para que un motor térmico funcione es necesario que haya dos entornos diferentes disponibles. Las siguientes fórmulas imponen restricciones a la eficiencia de la conversión energética, en términos de los diferentes valores\(\beta\) de los dos ambientes. Derivaremos estas restricciones.

En primer lugar, sin embargo, es útil comenzar a lidiar con lo recíproco de sí mismo y\(\beta\) no de\(\beta\) sí mismo. Recordemos que\(\beta\) es una propiedad intensiva: si\(\beta\) se ponen en contacto dos sistemas con diferentes valores de, terminarán con un valor común de\(\beta\), en algún lugar entre los dos valores originales, y la entropía general se elevará. Lo mismo es cierto de 1/\(\beta\), y de hecho de cualquier tiempo constante 1/\(\beta\). (En realidad esta afirmación no es cierta si uno de los dos valores de\(\beta\) es positivo y el otro es negativo; en este caso el valor resultante de\(\beta\) es intermedio pero el valor resultante de 1/ no lo\(\beta\) es.) Obsérvese que 1/\(\beta\) puede, mediante el uso de las fórmulas del Capítulo 11, ser interpretado como un pequeño cambio en la energía dividido por el cambio en la entropía que la causa, hasta dentro del factor de escala\(k_B\).

Definamos la “temperatura absoluta” como

\(T = \dfrac{1}{k_B\beta} \tag{12.1}\)

donde\(k_B = 1.381 × 10^{−23}\) Joules per Kelvin es la constante de Boltzmann. La distribución de probabilidad que proviene del uso del Principio de Entropía Máxima es, cuando se escribe en términos de\(T\),

\(\begin{align*} p_i &= e^{−\alpha}e^{−\beta E_i} \tag{12.2} \\ &= e^{−\alpha}e^{−E_i/k_BT} \tag{12.3} \end{align*}\)

La interpretación de\(\beta\) en términos de temperatura es consistente con las propiedades cotidianas de la temperatura, es decir, que dos cuerpos a la misma temperatura no intercambian calor, y si dos cuerpos a diferentes temperaturas entran en contacto uno se calienta y el otro se enfría para que sus temperaturas acercarse el uno al otro. En la experiencia ordinaria la temperatura absoluta es positiva, y el valor correspondiente de también\(\beta\) es. Debido a que la temperatura es un concepto más familiar que las variables duales o los multiplicadores Lagrange, a partir de ahora expresaremos nuestros resultados en términos de temperatura.

\(T\)La temperatura absoluta se mide en Kelvins (a veces incorrectamente llamados grados Kelvin), en honor a William Thomson (1824-1907), quien propuso una escala de temperatura absoluta en 1848. \(^1\)La escala Celsius, que es comúnmente utilizada por el público en general en la mayoría de los países del mundo, difiere de la escala Kelvin por una constante aditiva, y la escala Fahrenheit, que es de uso común en Estados Unidos, difiere tanto por una constante aditiva como por un factor multiplicativo. Finalmente, para completar la lista de escalas, William Rankine (1820-1872) propuso una escala que tenía 0 igual que la escala Kelvin, pero el tamaño de los grados era el mismo que en la escala Fahrenheit.

Se necesita más de una escala de temperatura porque la temperatura se utiliza tanto para fines científicos (para los cuales la escala Kelvin es adecuada) como para la experiencia cotidiana. Naturalmente, las escalas tempranas fueron diseñadas para ser utilizadas por el público en general. Gabriel Fahrenheit (1686—1736) quería una escala donde el clima más caluroso y frío de Europa estuviera entre 0 y 100. Se dio cuenta de que la mayoría de la gente puede tratar más fácilmente con números en ese rango. En 1742 Anders Celsius (1701—1744) decidió que temperaturas entre 0 y 100 deberían cubrir el rango donde el agua es un líquido. En su Escala Centígrados inicial, representó el punto de ebullición del agua como 0 grados y el punto de congelación como 100 grados. Dos años después se sugirió revertir estos puntos. \(^2\)El resultado, que lleva el nombre de Celsius en 1948, ahora se utiliza en todo el mundo.

Para interés general, el Cuadro 12.1 muestra algunas temperaturas de interés en las cuatro escalas, junto con\(\beta\).

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\(^1\)Thomson was a prolific scientist/engineer at Glasgow University in Scotland, with major contributions to electromagnetism, thermodynamics, and their industrial applications. He invented the name “Maxwell’s Demon.” In 1892 he was created Baron Kelvin of Largs for his work on the transatlantic cable. Kelvin is the name of the river that flows through the University.

\(^2\)According to some accounts the suggestion was made by Carolus Linnaeus (1707–1778), a colleague on the faculty of Uppsala University and a protege of Celsius’ uncle. Linnaeus is best known as the inventor of the scientific notation for plants and animals that is used to this day by botanists and zoologists.