12.2: Motor de Calor

El sistema magnético-dipolo que estamos considerando se muestra en la Figura 12.1, donde hay dos ambientes a diferentes temperaturas, y la interacción de cada uno con el sistema se puede controlar teniendo las barreras presentes o no (mostradas en la Figura como presentes). Si bien la Figura 12.1 muestra dos dipolos en el sistema, el análisis aquí funciona con un solo dipolo, o con más de dos, siempre y cuando haya muchos menos dipolos en el sistema que en cualquiera de los dos ambientes.

Ahora reescribamos las fórmulas del Capítulo 11 con el uso de\(\beta\) sustituidas por temperatura. Así, las Ecuaciones 11.8 a 11.12 se convierten

Cuadro 12.1: Varias temperaturas de interés (bp = punto de ebullición, mp = punto de fusión)

	K	\(^{\circ}\)C	\(^{\circ}\)F	\(^{\circ}\)R	\(k_BT = \frac{1}{\beta}\)(J)	\(\beta (J^{−1})\)
Cero Absoluto	0	-273.15	-459.67	0	0	\(\infty\)
Espacio exterior (aprox.)	2.7	-270	-455	4.9	3.73 × 10\(^{−23}\)	2.68 × 10\(^{22}\)
Helio líquido bp	4.22	-268.93	-452.07	7.6	5.83 × 10\(^{−23}\)	1.72 × 10\(^{22}\)
Nitrógeno Líquido bp	77.34	-195.81	-320.46	139.2	1.07 × 10\(^{−21}\)	9.36 × 10\ {^20}\)
Agua mp	273.15	0.00	32.00	491.67	3.73 × 10\(^{−21}\)	2.65 × 10\(^{20}\)
Temperatura ambiente (aprox.)	290	17	62	520	4.00 × 10\(^{−21}\)	2.50 × 10\(^{20}\)
Agua bp	373.15	100.00	212.00	671.67	5.15 × 10\(^{−21}\)	1.94 × 10\(^{20}\)

Figura 12.1: Ejemplo de momento dipolo. (Cada dipolo puede ser hacia arriba o hacia abajo).

\ [\ begin {align*}
1 &=\ suma_ {i} p_ {i}\ tag {12.4}\\
E &=\ suma_ {i} p_ {i} E_ {i}\ tag {12.5}\\
S &=k_ {B}\ sum_ {i} p_ {i}\ ln\ left (\ frac {1} {p_ {i}\ derecha)\ tag {12.6}\\
p_ {i} &=e^ {-\ alpha} e^ {-E_ {i}/k_ {B} T}\ tag {12.7}\\
\ alfa & ; =\ ln\ izquierda (\ suma_ {i} e^ {-E_ {i}/k_ {B} T}\ derecha)\\
&=\ frac {S} {k_ {B}} -\ frac {E} {k_ {B} T}\ tag {12.8}
\ end {align*}\ nonumber\]

Las fórmulas diferenciales del Capítulo 11 para el caso del modelo dipolo donde cada estado tiene una energía proporcional a H, las Ecuaciones 11.30 a 11.36 se convierten

\ (\ begin {align*}
0 &=\ suma_ {i} d p_ {i}\ tag {12.9}\\
d E &=\ suma_ {i} E_ {i} (H) d p_ {i} +\ izquierda (\ frac {E} {H}\ derecha) d H\ tag {12.10}\\
T d S &=d E-\ izquierda (\ frac {H}\ frac ac {E} {H}\ derecha) d H\ tag {12.11}\\
d\ alfa &=\ izquierda (\ frac {E} {k_ {B} T}\ derecha)\ izquierda [\ izquierda (\ frac {1} {T}\ derecha) d T-\ izquierda (\ frac {1} {H}\ derecha) d H\ derecha]\ tag {12.12}\\
d p_ {i} &=p_ {i}\ izquierda [\ frac {E_ {i} (H) -E} {k_ {B} T}\ derecha]\ izquierda [\ izquierda (\ frac {1} {T}\ derecha) d T-\ izquierda (\ frac {1} {H}\ derecha) d H\ derecha]\ tag {12.13}\\
d E &=\ izquierda [\ suma_ {i} p_ {i}\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha) ^ {2}\ derecha]\ izquierda (\ frac {1} {k_ {B} T}\ derecha)\ izquierda [\ izquierda (\ frac {1} {T}\ derecha) d T-\ izquierda (\ frac {1} {H}\ derecha) d H\ derecha] +\ izquierda (\ frac {E} {H}\ derecha) d H\ tag {12.14}\
T d S &=\ izquierda [\ sum_ {i} p_ {i}\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha) ^ {2}\ derecha]\ izquierda (\ frac {1} {k_ {B} T}\ derecha)\ izquierda [\ izquierda (\ frac {1} {T}\ derecha) d T-\ izquierda (\ frac {1} {H}\ derecha) d H\ derecha]\ etiqueta {12.15}
\ final {alinear*}\)

y el cambio en la energía puede atribuirse a los efectos del trabajo\(dw\) y el calor\(dq\)

\ [\ begin {align*}
d w&=\ left (\ frac {E} {H}\ derecha) d H\ tag {12.16}\\
d q&=\ sum_ {i} E_ {i} (H) d p_ {i}\\
&=T d S\ tag {12.17}
\ end {align*}\ nonumber\]