5.1: Modelos Booleanos - Tablas de Verdad y Diagramas de Transición de Estado

Introducción a los modelos booleanos

Un booleano es una variable que sólo puede alcanzar dos valores: Verdadero o Falso. En la mayoría de las aplicaciones, es conveniente representar un Verdadero por el número 1, y un Falso por el número 0. Un modelo booleano, o red booleana, es una colección de variables booleanas que están relacionadas por reglas de conmutación lógica, o funciones booleanas, que siguen un formato If-Then. Este tipo de modelo booleano se conoce como modelo autónomo y será el tipo principal de modelo discutido en este artículo.

En ingeniería química, los modelos booleanos se pueden utilizar para modelar sistemas de control simples. Las funciones booleanas se pueden utilizar para modelar interruptores en bombas y válvulas que reaccionan a las lecturas de los sensores que ayudan a mantener ese sistema funcionando sin problemas y de manera segura. Una aplicación simple para el control de nivel de un CSTR se incluye en el ejemplo 1 elaborado. En este ejemplo, la función booleana se utiliza para cerrar la corriente de entrada y abrir la corriente de salida cuando el nivel es mayor que un punto especificado.

Funciones booleanas

Las funciones booleanas son operadores lógicos que relacionan dos o más variables booleanas dentro de un sistema y devuelven un verdadero o falso. Una expresión booleana es un grupo de funciones booleanas, que se describirán individualmente a continuación. Al calcular el valor de una expresión booleana, se utilizan paréntesis para indicar prioridad (trabajando de adentro hacia afuera como en álgebra). Después de eso, la INVERSIÓN LÓGICA siempre será la primera y la EQUIVALENCIA LÓGICA será la última, pero el orden de operación de las funciones AND, OR y EXCLUSIVE OR se especifica con paréntesis.

A continuación se dan descripciones y ejemplos de estas funciones. Una referencia rápida de cada una de las funciones se puede encontrar después de los ejemplos.

INVERSIÓN LÓGICA

INVERSIÓN LÓGICA es una función que devuelve el valor opuesto de una variable. La función se denota como primo en la variable (por ejemplo, A' o B') Por ejemplo, si decimos que A es verdadero (A=1), entonces la función A' devolverá un falso (A'=0). Del mismo modo, si decimos que A es falso (A=0) entonces la función A' devolverá true (A'=1).

Ejemplo:

A=1, B=A' y luego B=0

Y

La función AND relaciona dos o más variables booleanas y devuelve un verdadero si-y-solo-si ambas variables son verdaderas. Un punto se usa para denotar la función AND, o simplemente se omite. Por ejemplo “A y B” pueden escribirse como “A•B” o como “AB”. En este ejemplo, la función AND solo devolverá un verdadero si y solo si ambas variables booleanas A y B tienen un valor de 1.

Ejemplos:

Variables	Resultados
A=1, B=1	AB = 1
A=1, B=0	AB = 0
A=1, B=1, C=1	ABC = 1
A=1, B=0, C=1	ABC = 0

O

La función OR relaciona dos o más variables booleanas y devuelve un verdadero si alguna de las variables referenciadas son verdaderas. Se usa un plus para denotar la función OR. Por ejemplo “A o B” se puede escribir como “A+B”. En este ejemplo, la función OR devolverá true si cualquiera de las variables booleanas, A o B, tiene un valor de 1.

Ejemplos:

Variables	Resultados
A=1, B=1	A+B = 1
A=1, B=0	A+B = 1
A=0, B=0	A+B = 0
A=0, B=0, C=1	A+B+C = 1
A=0, B=0, C=0	A+B+C = 0

EXCLUSIVO O

La función EXCLUSIVO O relaciona dos o más variables booleanas y devuelve true solo cuando una de las variables es verdadera y todas las demás variables son falsas. Devuelve false cuando más de una de las variables son verdaderas, o todas las variables son falsas. Un plus circunscrito se utiliza para denotar la función OR EXCLUSIVA. Por ejemplo “A EXCLUSIVO O B” se puede escribir como “A B.”

Ejemplos:

Variables	Resultados
A=1, B=1	A B = 0
A=1, B=0	A B = 1
A=0, B=1	A B = 1
A=0, B=0	A B = 0
A=0, B=0, C=0	A B C = 0
A=1, B=0, C=0	A B C = 1
A=1, B=0, C=1	A B C = 0
A=1, B=1, C=1	A B C = 0

EQUIVALENCIA LÓGICA

La función EQUIVALENCIA LÓGICA equivale a dos variables o expresiones booleanas. La función EQUIVALENCIA LÓGICA, denotada como =, asigna a una variable booleana un verdadero o falso dependiendo del valor de la variable o expresión con la que se esté equiparando. Por ejemplo, A EQUIVALENCIA LÓGICA B se puede escribir como A = B. En este ejemplo, al valor de A se le asignará el valor de B.

Redes Booleanas

Como se afirma en la introducción, una red booleana es un sistema de ecuaciones booleanas. En ingeniería química, es probable que las redes booleanas dependan de entradas externas como medio de controlar un sistema físico. Sin embargo, las siguientes secciones pertenecen principalmente a sistemas autónomos síncronos. Un sistema autónomo es aquel que es completamente independiente de las entradas externas. Cada variable booleana depende del estado de otras variables booleanas en el sistema y ninguna variable es controlada por una entrada externa. Un sistema síncrono es aquel en el que la conmutación lógica (el cambio de variables booleanas) ocurre simultáneamente para todas las variables en función de los valores anteriores a la incidencia del cambio.

Aquí hay un ejemplo de una red booleana autónoma:

Funciones booleanas

A = B+C'

B = AC

C = A'

Tablas de la Verdad

Una tabla de verdad es una tabulación de todos los estados posibles de un Modelo Booleano en diferentes marcos de tiempo. Una tabla de verdad simple muestra los estados iniciales potenciales en el tiempo, T _i, y los estados posteriores correspondientes en el tiempo T _i+1, de una red booleana. Las tablas de verdad pueden proporcionar una imagen más clara de cómo se aplican las reglas y cómo afectan a cada situación. De ahí que ayuden a asegurar que cada salida solo tenga una instrucción de control para que las reglas booleanas no entren en conflicto entre sí.

Construyendo tablas de verdad

1. Elaborar una tabla con el número apropiado de columnas para cada variable; una para cada entrada y salida.
2. El lado izquierdo de la columna debe contener todas las posibles permutaciones de las variables de entrada en el tiempo T _i. Un método para lograr esto podría ser enumerar todas las combinaciones posibles en orden binario ascendente.
3. El lado derecho de la columna debe contener el resultado correspondiente de las variables de salida en el tiempo posterior T _i+1. Un ejemplo genérico de esto con 2 variables se puede ver a continuación:

Una forma rápida de verificar que tiene todas las posibles permutaciones es que debe haber 2 ^x posibles permutaciones para X variables de entrada.

Ejemplo de una tabla de la verdad

El sistema de muestreo que usaremos se basa en la tecnología de pila de combustible de hidrógeno. La ecuación para el funcionamiento de las pilas de combustible de hidrógeno es

\[\ce{H2 + O2 -> H2O}. \nonumber \]

Un aspecto de las celdas de combustible de membrana de intercambio de protones (PEM) (un tipo de celda de combustible) es que el rendimiento de la celda de combustible depende en gran medida de la humedad relativa del sistema (si la humedad aumenta demasiado, la celda de combustible se inundará y H _{2 y O 2} no podrán alcanzar la celda. Si la humedad cae demasiado baja, la pila de combustible se secará y el rendimiento disminuirá). La tarea es crear un modelo booleano para este sistema simplificado de gestión del agua.

El sistema produce vapor dentro del sistema, y hay una ventilación para liberar vapor si el sistema se satura demasiado. En nuestro sistema, asumiremos que las entradas son estequiométricas y reaccionan completamente. También asumiremos que la acumulación de presión a partir del vapor es insignificante en comparación con el cambio en la humedad relativa. La única variable en cuestión es el% de humedad relativa en el sistema.

• nota: así no es como funciona realmente la gestión del agua en un sistema de pila de combustible, sino que es un ejemplo sencillo.

A representará la respuesta del controlador de humedad (0 indica humedad relativa o% HR < 80%, 1 indicates %RH > 80%)
B representará el estado de la válvula (0 está cerrada, 1 está abierta)

Las funciones booleanas correspondientes para este modelo se dan a continuación (normalmente tendrías que diseñarlas tú mismo para cumplir con los criterios que deseas):

A = A
B = A

Para este ejemplo con 2 variables de entrada, hay 2 ² = 4 posibles permutaciones y 2 ² = 4 filas. Las permutaciones resultantes para las salidas son: Para A donde Y=1, el número de 0s y 1s son 2 ^(Y-1) =2 ^(1-1) =1. Para B donde Y=2, el número de 0s y 1s son 2 ^(Y-1) =2 ^(2-1) =2.

La tabla de verdad resultante está a continuación:

Diagramas de transición de

Un diagrama de transición de estado es una forma gráfica de ver tablas de verdad. Esto se logra observando cada estado inicial individual y su estado resultante. La transición de un estado a otro está representada por una flecha. Después se reconstruyen como un rompecabezas hasta que encajan en su lugar. Cuando un estado se lleva a sí mismo simplemente se apunta a sí mismo. El siguiente ejemplo se basa en la tabla de verdad de la sección anterior.

En este ejemplo, hay dos ciclos de estado. Un ciclo de estado es una combinación de estados alrededor de los cuales el sistema entra y vuelve a entrar continuamente. Para un número finito de estados, siempre existirá al menos un ciclo estatal. Un ciclo de estado también es una ruta o un diagrama de flujo que muestra el “proceso de toma de decisiones” de una red booleana. Esta característica es un resultado directo de dos atributos de redes booleanas:

1. Número finito de estados
2. Determinístico (hay un cierto conjunto de reglas que determina el siguiente estado que se ingresará)

En el ejemplo presentado en la sección anterior, hubo dos ciclos estatales. Una ventaja de los ciclos de estado es que fácilmente te permite ver dónde terminará tu modelo en bicicleta y si hay estados que no son contabilizados correctamente por tu modelo. En el diagrama anterior, si el controlador de humedad indicara que la humedad estaba por debajo del valor establecido, cerraría la válvula o mantendría la válvula cerrada. Si el controlador de humedad indicara que la humedad estaba por encima del valor establecido, abriría la válvula o la mantendría abierta.

Considera este sistema alterno.

En este ejemplo, el ciclo de estado dice que si el medidor dice que la humedad está por debajo del punto de ajuste cerraría la válvula de ventilación abierta y cerrada. Esto perjudicaría al sistema y no es un resultado deseado del modelo.

Por cuestiones de seguridad y funcionalidad, un ingeniero de control de procesos querría considerar todas las posibilidades en el diseño de cualquier red booleana modelando un sistema real.

Limitaciones de las redes booleanas

Ventajas de las redes booleanas

• A diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias y la mayoría de los otros modelos, las redes booleanas no requieren una entrada de parámetros.
• Los modelos booleanos son rápidos y fáciles de calcular usando computadoras.
• Las redes booleanas se pueden utilizar para modelar una amplia variedad de actividades y eventos.
• Las redes booleanas se pueden utilizar para aproximar ecuaciones diferenciales ordinarias cuando hay un número infinito de estados.

Desventajas de las redes booleanas

• Las redes booleanas están restringidos a la computación matemática muy simple. No pueden ser utilizados para cálculo y para calcular grandes cantidades.
• Los modelos booleanos tienen una resolución relativamente baja en comparación con otros modelos.
• Es muy lento y complicado construir redes booleanas a mano.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un CSTR hipotético necesita mantener su nivel de líquido por debajo de una marca de seguridad mediante un sensor, L1, en la marca correspondiente y una válvula de control colocada en las corrientes de entrada y salida — V1 y V2 respectivamente. Una aplicación típica del sistema mencionado anteriormente podría implicar reacciones líquidas catalizadas heterogéneamente con producto (s) líquido (s).

Solución

Convenciones

Sensor de nivel de agua

L1	0	1
nivel de agua	deseable	demasiado alto

Valve

V	0	1
posición	cerrado	abrir

Estado Inicial

Supongamos que el CSTR está vacío y siendo llenado. El CSTR, al estar vacío, establece el valor de L1 en cero. El llenado del CSTR podría hacerse abriendo la válvula 1 - V1 asumiendo un valor de uno - y cerrando la válvula 2 - V2 asumiendo un valor de cero.

En forma de coordenadas, el estado inicial es como tal: (L1, V1, V2) = (0, 1, 0)

Interpretación de problemas

Sea h el nivel del agua y WL1 sea la marca de seguridad definida en el CSTR. El sistema podría asumir uno de los siguientes estados en cualquier momento:

1) h < WL1: nivel de agua deseable

Maximizar la producción del químico incita al sistema a permanecer en su estado actual, es decir, su estado inicial. (L1, V1, V2) final = (0, 1, 0) estado final

2) h > WL1: nivel de agua demasiado alto

La prevención de inundaciones requiere que se vacíe el tanque. Como tal, la válvula 1 (V1) debe cerrarse para detener la entrada mientras que la válvula 2 (V2) debe estar abierta para vaciar el agua extra por encima de la marca de agua de seguridad. (L1, V1, V2) '= (1, 1, 0) disparador a válvula (L1, V1, V2) final = (1, 0, 1) estado final

Ciclo Estatal

Importancia Física

Referencias

• James E. Palmer y David E. Perlman (1993). Esquema de Teoría y Problemas de Introducción a los Sistemas Digitales de Schaum, McGraw-Hill Professional. ISBN 0070484392
• Stuart A. Kauffman (1993). Los orígenes de la autoorganización y selección del orden en la evolución, Oxford University Press. ISBN 0195079515

Colaboradores y Atribuciones

• Joseph Casler, Andry Haryanto, Seth Kahle y Weiyin Xu, Adhi Paisoseputra, Andrew Kim, Hillary Kast, Stephanie Cleto