10.0: Preludio a los controladores para modelos de variables de estado discreto

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El modelo de variables de estado de un sistema dinámico comprende un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden que expresan el comportamiento del sistema como derivadas de tiempo de las variables seleccionadas. El diseño del controlador para el modelo de variable de estado implica seleccionar ganancias de retroalimentación para cada (o una selección) de las variables de estado. El controlador de retroalimentación de estado ofrece mayor flexibilidad en el diseño del sistema en comparación con los controladores de retroalimentación de salida diseñados con modelos de función de transferencia.

El modelo de variable de estado de tiempo continuo de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) se puede convertir a un modelo LTI de tiempo discrtete-time asumiendo una entrada constante por partes al sistema. La conversión se realiza fácilmente en MATLAB mediante el comando 'c2d'. La frecuencia de muestreo asumida debe ser de cinco a diez veces mayor que el ancho de banda del sistema.

Los métodos de diseño del sistema de control utilizados con los sistemas de tiempo continuo se pueden extender al diseño de controladores digitales de sistemas de datos muestreados que incluyen elementos de muestreo y retención. La descripción en el dominio del tiempo de un sistema de datos muestreados comprende un conjunto de ecuaciones de diferencia que se pueden resolver fácilmente por iteración.

El diseño de colocación de polos usando retroalimentación de estado completo se puede realizar de manera similar en modelos de variables de estado discreto. El polinomio característico deseado en el caso discreto debe tener sus raíces dentro del círculo unitario para asegurar la estabilidad del sistema de bucle cerrado. Un modelo de sistema discreto permite además el diseño de un controlador deadbeat que coloca todas las raíces del polinomio característico de bucle cerrado en el origen. El controlador deadbeat asegura que la respuesta del sistema alcance el estado estacionario exactamente en\(n\) iteraciones.

En comparación con el diseño del locus raíz que permite la colocación selectiva de los polos de bucle cerrado del polinomio característico, la colocación arbitraria de polos es posible mediante el uso del diseño de retroalimentación de estado en el caso de modelos de variables de estado. A continuación, asumimos que el sistema a controlar es del tipo de entrada única y salida única (SISO).