13.4: Ejercicios

Ejercicio 13.1

Considera el movimiento horizontal de una partícula de masa unitaria que se desliza bajo la influencia de la gravedad sobre un alambre sin fricción. Se puede demostrar que, si el cable está doblado de manera que su altura\(h\) viene dada por\(h(x) = V_{\alpha}(x)\), entonces un modelo estado-espacio para el movimiento viene dado por

\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} =z\
\ punto {z} =-\ frac {d} {d x} V_ {\ alpha} (x)
\ end {array}\ nonumber\]

Supongamos\(V_{\alpha}(x)=x^{4}-\alpha x^{2}\)

(a) Verificar que el modelo anterior tenga\((z, x) = (0 , 0)\) como punto de equilibrio para cualquiera\(\alpha\) en el intervalo\(-1 \leq \alpha \leq 1\), y también tenga\((z, x)=(0, \pm \sqrt{\frac{\alpha}{2}})\) como puntos de equilibrio cuando\(\alpha\) esté en el intervalo\(0<\alpha \leq 1\).

(b) Verificar que el modelo linealizado sobre cualquiera de los puntos de equilibrio no sea asintóticamente estable ni inestable para ninguno\(\alpha\) en el intervalo\(-1 \leq \alpha \leq 1\).

Ejercicio 13.2

Considere el sistema dinámico que se describe a continuación:

\[\ddot{y}+a_{1} \dot{y}+a_{2} y+c y^{2}=u+\dot{u}\nonumber\]

donde\(y\) esta la salida y\(u\) es la entrada.

a) Obtener una realización estado-espacio de la dimensión 2 que describa el sistema anterior.

b) Si\(a_{1}=3, a_{2}=2, c=2\), demostrar que el sistema es asintóticamente estable en el origen.

(c) Encontrar una región (un disco de radio distinto de cero) alrededor del origen de tal manera que cada trayectoria, con un estado inicial que comienza en esta región, converja a cero a medida que\(t\) se acerca al infinito. A esto se le conoce como una región de atracción.

Ejercicio 13.3

Considerar el sistema

\[\dot{x}(t)=-\frac{d P(x)}{d x}\nonumber\]

donde\(P (x)\) tiene primeras derivadas parciales continuas. La función\(P (x)\) se conoce como la función potencial del sistema, y se dice que el sistema es un sistema de gradiente. Dejar\(\bar{x}\) ser un mínimo local aislado de\(P (x)\), es decir\(0<\|x-\bar{x}\|<r\),\(P(\bar{x})<P(x)\) para, algunos\(r\).

(a) Mostrar que\(\bar{x}\) es un punto de equilibrio del sistema de gradiente.

b) Utilizar la función candidata Lyapunov

\[V(x)=P(x)-P(\bar{x})\nonumber\]

para tratar de establecer que\(\bar{x}\) es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

Ejercicio 13.4

El objetivo de este problema es analizar la convergencia del algoritmo de gradiente para encontrar un mínimo local de una función. Dejar\(f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) y asumir que\(x^{\prime}\) es un mínimo local; es decir,\(f (x^{\prime}) < f(x)\) para todos lo suficientemente\(x\) cerca pero no igual a\(x^{\prime}\). Supongamos que\(f\) es continuamente diferenciable. Dejado\(g(t) : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) ser el gradiente de\(f\):

\[g^{T}=\left(\frac{\partial g}{\partial x_{1}} \quad \ldots \quad \frac{\partial g}{\partial x_{n}}\right)\nonumber\]

Se deduce de Cálculo elemental que\(g\left(x^{*}\right)=0\).

Si se tiene una buena estimación de\(x^{*}\), entonces se argumenta que la solución al sistema dinámico:

\[\dot{x}=-g(x) \ \tag{13.10}\]

con\(x(0)\) cerca a\(x^{*}\) dará\(x(t)\) tal que

\[\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=x^{*}\nonumber\]

a) Utilizar los métodos de análisis de estabilidad de Lyapunov para dar una declaración precisa y una prueba del argumento anterior.

b) El sistema 13.10 suele resolverse numéricamente por el sistema de tiempo discreto

\[x(k+1)=x(k)-\alpha\left(x_{k}\right) g\left(x_{k}\right) \ \tag{13.11}\]

de donde\(\alpha\left(x_{k}\right)\) es alguna función\(\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\). En ciertas situaciones, se\(\alpha\) puede elegir como una función constante, pero esta elección no siempre es buena. Utilice los métodos de análisis de estabilidad de Lyapunov para sistemas de tiempo discreto para dar una posible opción\(\alpha\left(x_{k}\right)\) para

\[\lim _{k \rightarrow \infty} x(k+1)=x^{*}\nonumber\]

(c) Analizar directamente el algoritmo de gradiente para la función

\[f(x)=\frac{1}{2} x^{T} Q x, Q \text{ Symmetric, Positive Definite}\nonumber\]

Mostrar directamente que el sistema 13.10 converge a cero\(\left(=x^{*}\right)\). También, mostrar que\(\alpha\) en el sistema 13.11 se puede elegir como una constante real, y dar límites estrechos en esta elección.

Ejercicio 13.5

(a) Demostrar que cualquier matriz cuadrada (posiblemente compleja)\(M\) puede escribirse de manera única como la suma de una matriz hermitiana\(H\) y una matriz sesgada hermitiana\(S\), es decir,\(H^{\prime}=H\) y\(S^{\prime}=S\). (Pista: Trabajar con combinaciones de\(M\) y\(M^{\prime}\).) Obsérvese que si\(M\) es real, entonces esta descomposición expresa la matriz como la suma de una matriz simétrica y simétrica sesgada.

b) Con\(M\), y\(S\) como antes\(H\), muestran que la parte real de la forma cuadrática\(x^{\prime} M x\) es igual\(x^{\prime} H x\), y la parte imaginaria de\(x^{\prime} M x\) iguales\(x^{\prime} S x\). (De ello se deduce que si\(M\) y\(x\) son reales, entonces\(x^{\prime} M x= x^{\prime} H x \)).

(c) Dejar\(V(x)=x^{\prime} M x\) de verdad\(M\) y\(x\). Usando la definición estándar de\(d V(x) / d x\) como una matriz jacobiana - en realidad solo un vector de fila en este caso - cuya entrada\(j\) th es\(\partial V(x) / \partial x_{j}\), mostrar que

\[\frac{d V(x)}{d x}=2 x^{\prime} H\nonumber\]

donde\(H\) es la parte simétrica de\(M\), como se define en la parte (a).

(d) Demostrar que una matriz hermitiana siempre tiene valores propios reales, y que los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales entre sí.

Ejercicio 13.6

Considere el sistema LTI de tiempo continuo (real)\(\dot{x}(t)=A x(t)\).

(a) Supongamos que la ecuación de Lyapunov (tiempo continuo)

\[P A+A^{\prime} P=-I \ \tag{3.1}\]

tiene una solución definitiva simétrica y positiva\(P\). Tenga en cuenta que (3.1) se puede escribir como un sistema lineal de ecuaciones en las entradas de\(P\), por lo que resolverlo es en principio sencillo; existen buenos algoritmos numéricos.

Demostrar que la función\(V (x) = x^{\prime}P x\) sirve como función de Lyapunov, y utilizarla para deducir la estabilidad asintótica global del punto de equilibrio del sistema LTI anterior, es decir, deducir que los valores propios de\(A\) están en el plano abierto de la mitad izquierda. (El resultado del Ejercicio 13.5 será útil en computación\(\dot{V} (x)\).)

Lo que muestra la parte (a) es que la existencia de una solución definitiva positiva simétrica de (3.1) es suficiente para concluir que el sistema LTI dado es asintóticamente estable. La existencia de tal solución resulta también necesaria, como lo demostramos en lo que sigue. [En lugar de estar\(-I\) en el lado derecho de (3.1), podríamos haber tenido\(-Q\) para cualquier matriz definitiva positiva\(Q\). Seguiría siendo cierto que el sistema es asintóticamente estable si y sólo si la solución\(P\) es simétrica, positiva definitiva. Te dejamos modificar los argumentos aquí para manejar este caso.]

b) Supongamos que el sistema LTI anterior es asintóticamente estable. Ahora define

\[P=\int_{0}^{\infty} R(t) d t, \quad R(t)=e^{A^{\prime} t} e^{A t} \ \tag{3.2}\]

La razón por la que existe la integral es que el sistema es asintóticamente estable - ¡explique esto con más detalle! Demostrar que\(P\) es simétrico y positivo definido, y que es la solución única de la ecuación de Lyapunov (3.1). Te resultará útil notar que

\[R(\infty)-R(0)=\int_{0}^{\infty} \frac{d R(t)}{d t} d t\nonumber\]

Los resultados de este problema muestran que se puede decidir si una matriz\(A\) tiene todos sus valores propios en el plano abierto de la mitad izquierda sin resolver todos sus valores propios. Solo necesitamos probar la definición positiva de la solución del sistema lineal de ecuaciones (3.1). Esto puede ser más sencillo.

Ejercicio 13.7

Este problema utiliza el método directo de Lyapunov para justificar una afirmación clave de su método indirecto: si el modelo linealizado en un punto de equilibrio es asintóticamente estable, entonces este punto de equilibrio del sistema no lineal es asintóticamente estable. (En realidad solo consideraremos un punto de equilibrio en el origen, pero el enfoque se puede aplicar a cualquier punto de equilibrio, después de un cambio apropiado de variables).

Considere el sistema no lineal de tiempo continuo invariable dado por

\[\dot{x}(t)=A x(t)+h(x(t)) \ \tag{4.1}\]

donde\(A\) tiene todos sus valores propios en el plano abierto de la mitad izquierda, y\(h(.)\) representa “términos de orden superior”, en el sentido de que\(\|h(x)\| /\|x\| \rightarrow 0\) como\(\|x\| \rightarrow 0\).

(a) Demostrar que el origen es un punto de equilibrio del sistema (4.1), y que el modelo linealizado en el origen es justo\(\dot{x}(t) = Ax(t)\).

(b)\(P\) Sea la solución definitiva positiva de la ecuación de Lyapunov en (3.1). Demostrar que\(V(x)=x^{\prime} P x\) califica como candidato a la función de Lyapunov para probar la estabilidad del punto de equilibrio en el origen en el sistema (4.1). Determinar una expresión para\(\dot{V} (x)\), la tasa de cambio de trayectorias\(V (x)\) a lo largo de (4.1)

c) Aprovechando el hecho de que\(x^{\prime} x=\|x\|^{2}\)\(\|P h(x)\| \leq\|P\|\|h(x)\|\), y eso, ¿qué tan pequeño valor (en términos\(\|P\|\) de la relación le\(\|h(x)\| /\|x\|\) permitirá concluir eso\(\dot{V}(x(t))<0\) para\(x(t) \neq 0\)? Ahora argumenta que de hecho puedes limitar\(\|h(x)\| /\|x\|\) a este pequeño un valor eligiendo un vecindario lo suficientemente pequeño del equilibrio. En este barrio, por lo tanto,\(\dot{V}(x(t))<0\) para\(x(t) \neq 0\). Por el método directo de Lyapunov, esto implica estabilidad asintótica del punto de equilibrio.

Ejercicio 13.8

Para el sistema LTI de tiempo discreto\(x(k+1)=A x(k)\), let\(V(x)=x^{\prime} P x\), donde\(P\) es una matriz definida simétrica, positiva. ¿Qué condición garantizará que\(V (x)\) sea una función Lyapunov para este sistema? ¿Qué condición implica\(A\) y\(P\) garantizará la estabilidad asintótica del sistema? (Exprese sus respuestas en términos de la semidefinidad y definición positivas de una matriz.)